洛谷 P1216 数字三角形

题目链接：数字三角形

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思路

dp：金字塔顶的元素为起点，金字塔每行的最左侧数字只能从上一层的最左侧数字到达，如7 -> 3 -> 8 -> 2 -> 4，这些数字中的每一个（除起点7外）都只能从上一层的最左侧数字到达，递推公式为dp[i][1] = max(dp[i][1], num[i][1] + dp[i - 1][1]，最右侧数字同理，递推公式为dp[i][i] = max(dp[i][i], num[i][i] + dp[i - 1][i - 1]，而中间的数字可以由上层相邻的两个数字到达，递推公式为dp[i][j] = max(dp[i][i], num[i][j] + dp[i - 1][j - 1], num[i][j] + dp[i - 1][j]。

       优化：由于存储时使用的边界值为1，所以金字塔的最左侧和最右侧的数字的递推公式可以统一为dp[i][j] = max(dp[i][i], num[i][j] + dp[i - 1][j - 1], num[i][j] + dp[i - 1][j]，然后发现每次递推时只需要使用两层的数据，所以将空间复杂度优化为O(2 * n)，然后每次使用第一层计算出第二层之后，第一层的dp数组就不会再被使用，此时将第二层的dp数组赋值给第一层的dp数组，再用此时的第一层的dp数组计算出第二层的dp数组，一直递推即可得到第r层的dp数组，然后再对第r层的dp数组取最大值即可得到结果。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 10;
int dp[2][N], num[N];
int main() {
  int r;
  cin >> r;
  for (int i = 1; i <= r; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        cin >> num[j];
    }
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      dp[1][j] = num[j] + max(dp[0][j], dp[0][j - 1]);
    }
    swap(dp[0], dp[1]);
  }

  int res = 0;
  for (int i = 1; i <= r; i++) {
    res = max(res, dp[0][i]);
  }

  cout << res  << endl;

  return 0;
}