【做题】Codeforces Round #436 (Div. 2) F. Cities Excursions——图论+dfs

题意：给你一个有向图，多次询问从一个点到另一个点字典序最小的路径上第k个点。

考虑枚举每一个点作为汇点（记为i），计算出其他所有点到i的字典序最小的路径。（当然，枚举源点也是可行的）

首先，我们建一张反向图，从i开始dfs，以删去所有无法到达i的点。

然后，因为此时图上所有点都可以到达i，所以可以贪心地在从每一个点出发的边中只保留终点编号最小的边，而把其他边删除。

这样就可以保证路径是字典序最小的，并且从每个点到i的路径只有一条。

而题目中给出了这样一种情况：

• there are paths from sj to tj, but for every such path p there is another path q from sj to tj, such that pi > qi, where i is the minimum integer for which pi ≠ qi.

因此最后可能某些未被删去的点无法到达i，就需要从i开始再dfs一遍，以删去这些点。

在最后这次dfs的同时通过倍增记录路径（即祖先节点），以实现O(logn)地查询路径的第k个点。

时间复杂度O(n^2*logn+q*logn)。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define travel(i,x,p) for(int i=p.fir[(x)];i;i=p.con[i].la)
 #define nex(x,p) p.con[x].b
 using namespace std;
 const int N=,Q=;
 struct edge{
     int la,b;
 };
 struct graph{
     edge con[N];
     int tot,fir[N];
     bool vis[N];
     void init()
     {
         tot=;
         memset(fir,,sizeof fir);
     }
     void add(int from,int to)
     {
         con[++tot].la=fir[from];
         con[tot].b=to;
         fir[from]=tot;
     }
     void dfs(int pos)
     {
         vis[pos]=;
         for(int i=fir[pos];i;i=con[i].la)
         {
             if(!vis[con[i].b]) dfs(con[i].b);
         }
     }
 }p1,p2,p3;
 int n,m,q,anc[N][];
 struct query{
     int s,k,id;
 };
 vector<query>ask[N];
 int ans[Q];
 void exdfs(int pos)
 {
     p3.vis[pos]=;
     for(int i=;i<=;i++)
         anc[pos][i]=anc[anc[pos][i-]][i-];
     for(int i=p3.fir[pos];i;i=p3.con[i].la)
     {
         anc[p3.con[i].b][]=pos;
         exdfs(p3.con[i].b);
     }
 }
 void doit(query tmp,int pos)
 {
     if(!p3.vis[tmp.s]) ans[tmp.id]=-;
     else
     {
         tmp.k--;
         pos=tmp.s;
         for(int i=;i>=;i--)
         {
             if((<<i)<=tmp.k)
                 tmp.k-=(<<i),pos=anc[pos][i];
         }
         if(pos==) ans[tmp.id]=-;
         else ans[tmp.id]=pos;
     }
 }
 void solve(int pos)
 {
     memset(p2.vis,,sizeof p2.vis);
     p2.dfs(pos);
     p3.init();
     int tmp;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(p2.vis[i]&&i!=pos)
         {
             tmp=n+;
             travel(j,i,p1)
             {
                 if(p2.vis[nex(j,p1)]&&nex(j,p1)<tmp)
                     tmp=nex(j,p1);
             }
             if(tmp!=n+) p3.add(tmp,i);
         }
     }
     memset(p3.vis,,sizeof p3.vis);
     memset(anc,,sizeof(anc));
     exdfs(pos);
     for(int i=;i<(int)ask[pos].size();i++)
     {
         doit(ask[pos][i],pos);
     }
 }
 int main()
 {
     int from,to;
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         scanf("%d%d",&from,&to);
         p1.add(from,to);
         p2.add(to,from);
     }
     int x,y,k;
     for(int i=;i<=q;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
         ask[y].push_back((query){x,k,i});
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
         solve(i);
     for(int i=;i<=q;i++)
         printf("%d\n",ans[i]);
     return ;
 }

小结：在诸如最小字典序路径和其他问题中，可以通过预处理以保证贪心的正确性。