Gym100548F Color

题目链接：https://vjudge.net/problem/Gym-100548F

题目大意：

　　n 朵花，按顺序排成一排。从 m 种颜色中选出 k 种颜色，给这 n 朵花染色，要求相邻的花颜色不同。问共有多少种染色方案？

　　\((1 \le n,m \le 10^{9}, 1 \le k \le 10^{6}, k \le n,m)\)

知识点：　　快速幂算法、组合数、容斥原理、逆元。

解题思路：

　　第一步：从 m 种颜色中选出 k 种颜色，方案数：\(C_m^k\)；

　　第二步：将这 k 种颜色合理地安排到每一朵花上，要求每一种颜色都有用到，而且相邻的花颜色不同。在此我们设 \(G(x)\) 为将 x 种颜色合理地安排到每一朵花上，只要求相邻的花颜色不同，不要求每一种颜色都有用到。则 \( G(x) = x(x-1)^{n-1}\) 。根据容斥原理，我们可得第二步的方案数为：

　　\( C_{k}^{k}G(k) - C_{k}^{k-1}G(k-1) + ... +(-1)^{k-2}G(2)\)；

　　则总的方案数为：

　　\(C_m^k\times[C_{k}^{k}G(k) - C_{k}^{k-1}G(k-1) + ... +(-1)^{k-2}G(2)]\)

\(=C_m^k\times[C_{k}^{k}k(k-1)^{n-1} - C_{k}^{k-1}(k-1)(k-2)^{n-1} + ... +(-1)^{k-2}\times2]\).

AC代码：

 #include<cstdio>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const ll mod = 1e9 + ;
 const int maxn = 1e6 + ;
 ll inv[maxn], C_k[maxn];

 ll exp_mod(ll a, ll b) {    //快速幂求a^b%mod
     ll ret = ;
     while (b) {
         if (b & ) ret = (ret*a) % mod;
         a = (a*a) % mod;
         b >>= ;
     }return ret;
 }
 void init() {            //逆元表
     inv[] = ;
     for (int i = ; i<maxn; i++)
         inv[i] = exp_mod((ll)i, mod - ) % mod;
 }
 void find_Ck(ll k) {    //求出C(K, 0,1,...k)
     C_k[] = ;
     for (ll i = ; i <= k; i++) {
         C_k[i] = ((C_k[i - ] * (k - i + ) % mod)*inv[i]) % mod;
     }
 }
 int main() {
     //    freopen("in.txt","r",stdin);
     init();
     int T;
     ll n, m, k;
     scanf("%d", &T);
     for (int t = ; t <= T; t++) {
         scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
         find_Ck(k);
         ll ans1 = ;
         ll sign = ;
         for (ll i = k; i >= ; i--, sign = -sign)        //求C(k,k)*k*(k-1)^(n-1) - C(k,k-1)*(k-1)*(k-2)^(n-1) ......
             ans1 = (ans1 + ((C_k[i] * i%mod)*exp_mod(i - , n - ) % mod)*sign + mod) % mod;
         ll ans2 = ;
         for (ll i = ; i <= k; i++) {    //C(m,k)
             ans2 = (ans2*(m - i + ) % mod)*inv[i] % mod;    //注意除法取余运算要用逆元
         }
         printf("Case #%d: %lld\n", t, ans1*ans2%mod);
     }
     return ;
 }