二维坐标的平移，旋转，缩放及matlab实现

本文结合matlab 软件解释二维坐标系下的平移，旋转，缩放

首先确定点在二维坐标系下的表达方法，使用一个1*3矩阵：

Pt = [x,y,1]

其中x,y 分别为点的X，Y坐标，1为对二维坐标的三维扩充，即将二维坐标平面上的点移动到三维坐标面Z=1上来，这样的变化并没改变图形的形状，这种变化叫做齐次变换。

pt移动dx dy 后可得到移动后的点为pt’[x+dx,y+dy,1]

可以由如下关系表示

Pt’ = pt*Move。其中：

类似的，假设x y 放大系数为sx sy

那么有如下矩阵：

X,y旋转角度为t(t为逆时针旋转角度),那么旋转矩阵为

需要注意的是：

旋转与放缩均为相对坐标原点（0,0）的，坐标的旋转中心为（0,0），放缩N倍后，坐标质心坐标变为(Nx,Ny)，质心位置发生偏移。

1.当坐标点A（x,y）需要相对某一点（x1,y1）旋转角度T时，首先要将坐标原点移动到此点，意即，首先将要旋转的点投影到以参考点为原点的坐标系，旋转后，再投影回原坐标系，两个坐标系存在平移关系。

首先进行移动操作

dx = -x1,dy=-y1

然后再进行旋转操作

t = T

旋转之后将坐标移动回来

dx = x1, dy = y1

三者顺序不能颠倒。将A坐标顺序与三个矩阵相乘，得到最终结果。同理，当一点相对某参考点放缩时，也首先需要将坐标系原点平移参考点，放缩后在移回原原点(0,0)。

2 当坐标点相对某参考点放缩，旋转同时发生时，旋转与放缩的相对顺序并不影响最终结果，两者的顺序可以是任意的(后面可以通过验证放缩，旋转矩阵是否满足交换律证明)。

下面讨论二维坐标平移，旋转，放缩的matlab实现。

由于对坐标，转换参数的矩阵化表示，因此很容易考虑到Matlab实现。

Matlab 对于矩阵的原生支持，以及强大的绘图能力，均为我们直观，生动的理解坐标变换提供了良好支持。

下面考虑如下问题，点（2,2）绕（1,1）逆时针旋转45度后的坐标是多少？

本问题中 坐标点x为（2,2），参考点ref 为（1,1）。旋转角度t=45。按照前文所述，实现顺序为平移->旋转->平移。

Matlab 实现如下：

X = [2 2 1]

求得x1 为 [1  2.4142  1]

2 下面可以验证 rotateMatrix，scaleMatrix的交换律证明放缩，旋转的顺序问题，实际上可以发现scaleMatrix 为对角矩阵，因此两个矩阵肯定满足交换律的。但换做普通矩阵就不能满足交换律，如平移矩阵。

本文所述可能存在错误，还请高手指正。

2013.8.22