如何用C表示排列组合?
问题来自《Linux C一站式编程》,是个挺有意思的题目。
2、定义一个数组,编程打印它的全排列。比如定义:
#define N 3
int a[N] = { 1, 2, 3 };则运行结果是:
$ ./a.out
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 2 1
3 1 2程序的主要思路是:
- 把第1个数换到最前面来(本来就在最前面),准备打印1xx,再对后两个数2和3做全排列。
- 把第2个数换到最前面来,准备打印2xx,再对后两个数1和3做全排列。
- 把第3个数换到最前面来,准备打印3xx,再对后两个数1和2做全排列。
可见这是一个递归的过程,把对整个序列做全排列的问题归结为对它的子序列做全排列的问题,注意我没有描述Base Case怎么处理,你需要自己想。
你的程序要具有通用性,如果改变了N和数组a的定义(比如改成4个数的数组),其它代码不需要修改就可以做4个数的全排列(共24种排列)。完成了上述要求之后再考虑第二个问题:如果再定义一个常量M表示从N个数中取几个数做排列(N==M时表示全排列),原来的程序应该怎么改?
最后再考虑第三个问题:如果要求从N个数中取M个数做组合而不是做排列,就不能用原来的递归过程了,想想组合的递归过程应该怎么描述,编程实现它。
不考虑数组元素相同的情况,我们可以按照题目提供的思路写出如下代码:
#include <stdio.h>
#define N 3 int a[N]; void perm(int); /*求数组的全排列 */
void print();
void swap(int, int); int main(){
int i;
for(i = ; i < N; ++i){
a[i] = i + ;
}
perm();
} void perm(int offset){
int i, temp;
if(offset == N-){ // BaseCase
print();
return;
}else{
for(i = offset;i < N; ++i){
swap(i, offset);//交换前缀
perm(offset + );//递归
swap(i, offset);//将前缀换回来,继续做前一次排列
}
}
} void print(){
int i;
for(i = ; i < N; ++i)
printf(" %d ",a[i]);
printf("\n");
} void swap(int i, int offset){
int temp;
temp = a[offset];
a[offset] = a[i];
a[i] = temp;
}
如果平常递归写的不多的话,这段代码还是很容易写错的(没错,我就是在说我自己)。
在perm函数递归调用自己之后记得把元素位置交换回去,保证回溯时条件一致。
然后看第二个问题,这是更加一般的排列。仔细观察上面的代码,把特殊推导到一般,主要修改如下(用注释符标出):
#include <stdio.h>
#define N 4
#define M 2 // 取出M个元素进行排列,默认M<=N void print(){
int i;
for(i = ; i < M; ++i) // N->M,打印a里前M个排列元素
printf(" %d ",a[i]);
printf("\n");
} void perm(int offset){
int i;
if(offset == M){ // N->M,排列到M个数时递归到达BaseCase
print();
return;
}else{
for(i = offset;i < N; ++i){
swap(i, offset);
perm(offset + );
swap(i, offset);
}
}
}
再来看组合,同样用要求用递归解决,如果相关概念没有搞得很清楚,加上上面写的排列的代码,很容易写不出来(没错,说的还是我),然而代码其实很简单,不过递归确实更加复杂。
void comb(int n, int m)
{
int i;
if (m == ) {
print();
return;
} else {
for (int i = n-; i >= ; --i)
{
b[m-] = a[i];
comb(i, m-);
}
}
}
复杂之处在于,排列都是(n->n-1)这样的递归,然而组合这里是(n->i,m->m-1)这样非规律的递归调用,因为i是个变量。
但是组合的算法描述很简单,假设有一个两两元素互不相同的N长数组a,从数组尾端依次取M个数(b1,b2,···,bm)成为一个组合,并且满足条件:如果i>j,那么bi在a中的下标一定小于bj。
简单来说,就是从后往前取数组里的M个数,只有保持这样的偏序关系才能保证不会重复组合。
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