产品排序(2015 年北大自招夏令营) （与栈相关的区间DP）

题面:

$ solution: $

又是一道 $ DP $ 的好题啊！状态并不明显，需要仔细分析，而且还结合了栈的特性！

做这一类题，只要出题人有点理想，一定会在栈的性质上做点文章，所以我们尽量围绕栈的性质设置 $ DP $ 状态。可是栈又有什么性质呢？讲真，考场我是真没想到，好像压根就不知道有这个特性：

对于队列里 $ [l,r] $ 范围内的数，必然存在一个最晚出栈的 $ i\in[l,r] $ ，而我们不难发现此时 $ [l,i-1] $ 必然比 $ [i+1,r] $ 出栈要早一些，因为 $ [i+1,r] $ 进栈之前 $ i $ 就已经进栈了，而 $ i $ 又是最后一个出栈的（也就是说在 $ i $ 进栈时栈里一定是空的！！！不然：假设还有一个 $ j $ 未弹出， $ i $ 进栈时会在 $ j上面 $ ，那么最晚出栈的就将会是 $ j $ ！！！）

所以不论 $ [l,i-1] $ 的顺序是怎样的，他们对于后面的数所产生的（时间之和）与（惩罚值之和）是确定的！！！而此时如果我们知道 $ [l,i-1],[i+1,r] $ 的总（时间之和）与（惩罚值之和）就能知道 $ [l,r] $ 的总（时间之和）与（惩罚值之和）。所以我们应该先用这个方法先求 $ [l,i-1] $ 与 $ [i+1,r] $ 的最小（时间之和）与（惩罚值之和）再来得出 $ [l,r] $ 。

转移方程：

$ f[l][r]=min(f[l][r],f[l][i-1]+f[i+1][r]+(st[i-1]-st[l-1])\times (sd[r]-sd[i])+(st[r]-st[l-1])\times d[i]) $

其中：

$ i $ 是需要在 $ [l,r] $ 内枚举的
$ f[l][i-1] $ 与 $ f[i+1][r] $ 是先前就求好了的
$ (st[i-1]-st[l-1])\times (sd[r]-sd[i]) $ :这个是因为 $ [i+1,r] $ 在 $ [l,i-1] $ 后面，所以等待的时间增加了 $ （[l,i-1] $ 的时间总和，从而总惩罚值也要相应增加。
$ (st[r]-st[l-1])\times d[i]) $ ： $ i $ 是最后一个出栈的，它的惩罚值要乘上整个区间的时间和

唉！现在一想明明如此浅显的道理我怎么在考场上就是想不到呢？？？果然还是太弱了，唉.........

$ code: $

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<iomanip>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<ctime>

#include<cmath>

#include<vector>

#include<queue>

#include<map>

#include<set>

#define ll long long

#define db double

#define inf (ll)40000000001

#define rg register int

using namespace std;

int n;

int t[205];

int d[205];

ll st[205];

ll sd[205];

ll f[205][205];

inline int qr(){

	char ch;

	while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');

	int res=ch^48;

	while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')

		res=res*10+(ch^48);

	return res;

}

int main(){

	//freopen("product.in","r",stdin);

	//freopen("product.out","w",stdout);

	n=qr();

	for(rg i=1;i<=n;++i){

		t[i]=qr(),d[i]=qr();

		st[i]=st[i-1]+t[i];

		sd[i]=sd[i-1]+d[i];

	}

	for(rg i=1;i<=n;++i)

		for(rg j=i;j<=n;++j)

			f[i][j]=i==j?t[i]*d[i]:inf;

	for(rg k=1;k<=n;++k)

		for(rg l=1;l<=n-k;++l)

			for(rg i=l,r=l+k;i<=r;++i)

				f[l][r]=min(f[l][r],f[l][i-1]+f[i+1][r]+(st[i-1]-st[l-1])*(sd[r]-sd[i])+(st[r]-st[l-1])*d[i]);

	printf("%lld\n",f[1][n]);

	return 0;

}