[学习笔记]min_25筛

神佬yyb

神佬zsy

想不到花了两个小时的时间看 \(min\_25\) 筛就看懂了 实际去追了一下魔禁3

我们先举个例子。如求

\[\sum_{i=1}^{n}f(i)\]

其中 \(f(i)\) 是积性函数，而且要满足 \(i\in prime\) 时 \(f(i)\) 是一个简单多项式，\(f(i^k)\) 可以快速计算出来。

怎么用呢

我们先丢开前缀和，计算

\[\sum_{i=1}^{n}[i\in prime]f(i)\]

那么现在我们要用到埃氏筛的思想。每次我们要减去新筛去的 \(f(i)\)，然后减完了以后就是答案

\(g(n,j)\) 表示在前 \(j\) 个质数用埃氏筛筛完后的答案。

举个例子，\(g(10,2)=f(2)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)\)。令 \(P_j\) 为质数集合中第 \(j\) 小的质数，那么

\[g(n,j)=\sum_{i=1}^{n}[i\not |\ P_1,[i\not |\ P_2,...,[i\not |\ P_j]f(i)\]

现在，我们可以用 \(g(n,j-1)\) 来推出 \(g(n,j)\)

若 \(P_j^2>n\)，那么 \(P_j\) 便对答案没有贡献了，\(g(n,j)=g(n,j-1)\)

若 \(P_j^2\leq n\)，那么我们在 \(g(n,j-1)\) 的基础上要减掉一些东西。

那减掉什么呢？

首先，能被 \(P_j\) 筛掉的数一定被 \(P_j\) 整除，并且在除以 \(P_j\) 之后，最小质因子 \(\geq P_j\)

那么我们联想到了 \(g(\frac{n}{P_j},j-1)\)。但是发现 \(P_j\times P_1,P_j\times P_2,...,P_j\times P_{j-1}\) 已经被筛过了，所以要减去的应该是 \(f(P_j)\times (g(\frac{n}{P_j},j-1)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i))\)

所以可以得到下面的式子：

\(g(n,j)= \begin{cases} g(n,j-1)&P_j^2>n\\ g(n,j-1)-f(P_j)\times [g(\frac{n}{P_j},j-1)-\sum_{i=1}^{j-1}f(P_i)]&P_j^2\leq n \end{cases}\)

这就是 \(min\_25\) 筛的精髓。其实本质上 \(min\_25\) 是个容斥算法。

值得一提的是，它的时间复杂度为 \(O(\frac{n^{\frac 34}}{\log n})\)，可以当做 \(O(n^{\frac 23})\)，在 \(n\leq 10^{11}\) 的数据下大概要花 \(500ms\) 左右。