中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)

我理解的中国剩余定理的含义是：给定一个数除以一系列互素的数${p_1}, \cdots ,{p_n}$的余数，那么这个数除以这组素数之积($N = {p_1} \times  \cdots  \times {p_n}$)的余数也确定了，反之亦然。

用表达式表示如下：

\[\begin{array}{l}
x \equiv {a_1}(\bmod {p_1})\\
{\rm{     }} \vdots \\
x \equiv {a_n}(\bmod {p_n})
\end{array}\]

那么任何满足条件的x对于模N都是同余的。

其中满足条件的最小的x可以表示为：

\[x = {a_1}{b_1}\frac{N}{{{p_1}}} +  \cdots  + {a_n}{b_n}\frac{N}{{{p_n}}}\]

其中，${b_i}$为$\frac{N}{{{p_i}}}$模${p_i}$的数论倒数（即${b_i}\frac{N}{{{p_i}}} \equiv 1(\bmod {p_i})$）

用映射关系也可以表示为：

\[x\bmod N \mapsto (x\bmod {p_1},...,x\bmod {p_n})\]

这个性质可以推广到任何可交换环。实际上定义了一个环同构(ring isomorphism)。如在整数环上：

\[\mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/{p_1}\mathbb{Z} \times  \ldots  \times \mathbb{Z}/{p_1}\mathbb{Z}\]

这意味着，在$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上的一系列算术操作可以在每个$\mathbb{Z}/{p_i}\mathbb{Z}$上分开做，再利用同构得到结果。

后面补充一些最近看的关于数论的知识。

1. 环和理想(Rings and Ideals)

　　$R$是一个环，$R$的理想$I$是$R$中的一个非空子集，对于加法以及$R$中任一元素的乘法是封闭的。

即，对于所有的$a,b \in I$，都有$a + b \in I$；对于所有的$a\in I$，以及所有的$r \in R$，都有$ar \in I$.

　　主理想(Principal Ideal)是由单个元素产生的（R中的单个元素与R中的每个元素相乘产生）。若一个环中所有的理想都是主理想，那么这个环称为主理想环(Principal Ideal Ring,PIR)。若两个元素$a$和$b满足$a - b \in I$,那么说它们模$I$同余。

　　商环(quotient ring) $R/I$是通过在$R$上定义$I$的陪集上进行加法和乘法操作得到的：

\[\left( {a + I} \right) + \left( {b + I} \right) = \left( {a + b + I} \right),\left( {a + I} \right) \times \left( {b + I} \right) = \left( {ab} \right) + I\]

　　举个例子，整数域$\mathbb{Z}$是环，$2\mathbb{Z}$相当于由2产生的一个主理想。$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$是一个对应的商环。

　　2.主理想整环(Principal Ideal Domain,PID)

　　整数域$\mathbb{Z}$就构成一个PID。典型的例子还包括高斯整数 $\mathbb{Z}[i] \buildrel \Delta \over = \left\{ {a + bi:a,b \in \mathbb{Z}} \right\}$和艾森斯坦整数(Eisenstein integer) $\mathbb{Z}[\omega] \buildrel \Delta \over = \left\{ {a + b\omega:a,b \in \mathbb{Z}} \right\}$.

　　高斯整数在复平面上构成了一个正方形点阵，而艾森斯坦整数在复平面上构成了一个三角点阵。高斯整数有四个单位元$\left\{ { \pm 1, \pm i} \right\}$,艾森斯坦整数有六个单位元$\left\{ { \pm 1, \pm \omega , \pm {\omega ^2}} \right\}$