DP优化方法杂记

一些奇妙trick

观察决策集合

此类问题与单调队列优化dp有部分相似，都是利用决策集合的特殊性质对dp进行优化。

CF229D Towers

题意：给出一个序列，每次可以花费一体力合并相邻两个数，问使此序列形成一个非递减序列最少需要花费多少体力。

由于有明显的操作，考虑从转移角度设计方程，从左往右合并，由于合并只发生在相邻的数对中，而目标为一个非递减序列，主要影响是否合并的就是前一个数的权值，记 \(f_{i,j}\) 表示使前 \(i\) 个数非递减，最后一个数由 \(j\) 到 \(i\) 合并来的最小体力，可以得到一个 \(\Theta(n^3)\) 的方程为 $ f_{i,j}=\min\limits_{1\le k \le j}f_{j,k}+(i-j) $，满足 \(sum_i-sum_{j-1}\ge sum_{j-1}-sum_{k-1}\)。

观察需要满足的条件，可以发现对于一个固定的 \(j\)，随着 \(i\) 的增长，能转移的 \(k\) 的集合也只增不减，因此我们可以对于没有 \(j\) 维护一个指针，表示已经求得的 \(k\) 的集合的最右端，每次判断指针是否能够移动并更新最小值，我们定义每次判断分为失败判断和成功判断，由于失败判断每次判断只会产生一次，成功判断对于每个状态也只会产生一次，因此复杂度为均摊 \(\Theta(n^2)\)，可以通过此题。

对于进一步的优化，可以查看单调队列优化中的 [CSP-S2019] 划分一题，思路大体相同。

DS优化dp

单调队列优化dp

算法介绍

单调队列优化dp通常与状态转移方程中的单调性息息相关，这里的单调性通常指的是决策的单调性，如果把状态看做空间中的点，在决策集合不断扩大的同时，最优决策点随某一维度不断增长的同时增长就是决策单调性，通俗地说，在满足决策单调性的方程中，现在的最优方案来源一定在前面来源的“后面”。

而单调队列优化dp则是当转移范围受到两个变量限制，并且决策集合只定向移动时，用单调队列维护决策集合的变化。因此，在dp中，如果某一状态的答案选取范围有一些特殊性质时，你就可以尝试分析是否有单调性等特殊性质，成为解题的关键。

决策集合大小固定

此类为最常见的单调队列类题目，通常对于每个状态都有固定的转移范围，注意观察题目中固定的信息，用单调队列进行维护。

P2569 [SCOI2010]股票交易

决策集合不断变化

在决策集合不断变化的题目中也可以使用单调队列，只要保持定向移动的特性即可。

P5665 [CSP-S2019] 划分