蓝桥杯-最短路 （SPFA算法学习）

SPFA算法主要用来解决存在负边权的单源最短路情况（但不能有负环！！！）一个简单的方法判断是否有没有负环可以通过判断是否有一个节点是否频繁进出队列。

以下内容转自https://blog.csdn.net/xunalove/article/details/70045815

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。 

    SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。

    从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。 

    很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。有人称spfa算法是最短路的万能算法。

    简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。

    我们用数组dis记录每个结点的最短路径估计值，可以用邻接矩阵或邻接表来存储图G，推荐使用邻接表。

spfa的算法思想（动态逼近法）：

    设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 

    松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。 

    下面举一个实例来说明SPFA算法是怎样进行的：

和广搜bfs的区别：

    SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进(重新入队)，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

算法的描述：

void  spfa(s);  //求单源点s到其它各顶点的最短距离
    for i=1 to n do { dis[i]=∞; vis[i]=false; }   //初始化每点到s的距离，不在队列
    dis[s]=0;  //将dis[源点]设为0
    vis[s]=true; //源点s入队列
    head=0; tail=1; q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值
    while head<tail do {
       head+1;  //队首出队
       v=q[head];  //队首结点v
       vis[v]=false;  //释放对v的标记，可以重新入队
       for 每条边(v,i)  //对于与队首v相连的每一条边
        if (dis[i]>dis[v]+a[v][i])  //如果不满足三角形性质
         dis[i] = dis[v] + a[v][i]   //松弛dis[i]
        if (vis[i]=false) {tail+1; q[tail]=i; vis[i]=true;} //不在队列，则加入队列
    } 

最短路径本身怎么输出？

    在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？

    我们定义一个path[]数组，path[i]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path[v]=u，记录的工作就完成了。

    如何输出呢？我们记录的是每个点前面的点是什么，输出却要从最前面到后面输出，这很好办，递归就可以了。

模板题：

蓝桥杯-  算法训练 最短路

思路：spfa算法，因为题目告诉存在负边，不存在负环，而节点数n较大，因此不能使用Dijkstra算法和Floyd 算法。

这题因为数组不能开太大，所以邻接表用vector 存一个结构体变量。

 1 #include<iostream>
 2 #include<string.h>
 3 #include<string>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<bits/stdc++.h>
 6 #define INF 1e9
 7 using namespace std;
 8 struct Node{
 9     int  num;
10     int load=INF;
11 };
12 vector < Node > v[20000+50];
13 //int load[20050][20050];
14 int len[20050];
15 bool vis[20050];
16 void SPFA(){
17     queue < int > q;
18     q.push(1);
19     memset(vis,0,sizeof(vis));
20     vis[1]=1;
21     while(!q.empty()){
22         int now=q.front();
23         q.pop();
24         vis[now]=0;
25         for(int i=0;i<v[now].size();i++){
26             int tmp=v[now][i].num;
27             int link=v[now][i].load;
28             if(len[tmp]>link+len[now]){
29                 len[tmp]=link+len[now];
30                 if(vis[tmp]==0){
31                     q.push(tmp);
32                     vis[tmp]=1;
33                 }
34             }
35         }
36     }
37     return ;
38 }
39 int main(){
40     for(int i=0;i<20030;i++){
41         len[i]=INF;
42     }
43     len[1]=0;
44     int n,m;
45     cin>>n>>m;
46     for(int i=0;i<m;i++){
47         int x,y,l;
48         Node tmp;
49         scanf("%d%d%d",&x,&y,&l);
50         tmp.num=y;
51         tmp.load=l;
52         v[x].push_back(tmp);
53
54     }
55     SPFA();
56     for(int i=2;i<=n;i++){
57         cout<<len[i]<<endl;
58     }
59     return 0;
60 }