[Gauss]POJ2947 Widget Factory

题意: 有n种小工具要加工，每种工具的加工时间为3到9天，给了m条加工记录。

　　  每条记录 X $s_1$ $s_2$ 分别代表 这个工人在$s_1$到$s_2$(前闭后闭)的时间里加工了X件小工具

　　  下一行给出这X件小工具的种类

　　要求的是每件工具的加工时间 (唯一解：输出各个时间；无解：Inconsistent data.；多个解：Multiple solutions.)

可以列出同余方程组：$\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_i×x_i\equiv T \pmod{7}$

　　　　　　　　　　($a_i$是此人加工第i件物品的个数，$x_i$是第i件物品加工所需的时间，T是此人干活的时间)

　　　　　这样列出m个同余方程 组成方程组 用高斯消元

比如第一个案例:

2 3
2 MON THU
1 2
3 MON FRI
1 1 2
3 MON SUN
1 2 2

可以列出方程组：   

1×$x_0$+1×$x_1 \equiv 4 \pmod{7}$

2×$x_0$+1×$x_1 \equiv 5 \pmod{7}$

1×$x_0$+2×$x_1 \equiv 7 \pmod{7}$

\[ \left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 4 \\
2 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 7 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 4 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 3 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]

即得$x_0$=1，$x_1$=3

由题意 每种工具的加工时间为3到9天

故 $x_0$=8，$x_1$=3

解毕

下面是代码：

有mod就会有要求逆元
两种求逆元的方法

1. extend gcd
注意得到的x可能为负 要x=(x%mod+mod)%mod;

 void ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
 {
     if(b)
     {
         ex_gcd(b, a%b, x, y);
         int tmp=x;
         x=y;
         y=tmp-(a/b)*y;
     }
     else
     {
         x=, y=;
         return ;
     }
 }

2.inverse element

注意  只适用于a<b 并且 ab互质

 int inv(int a, int b)
 {
     return a==? :inv(b%a, b)*(b-b/a)%b;
 }

此题还有一法不求逆元：(利用欧拉函数)

即 把被除数不断加上mod 直到它能被除数整除为止

 while(tmp%a[i][i])
      tmp+=mod;
 x[i]=(tmp/a[i][i])%mod;

 与以下等价

 int xx, yy;
 ex_gcd(a[i][i], mod, xx, yy);
 xx=(xx%mod+mod)%mod;
 x[i]=(tmp*xx)%mod;

 与以下等价

 x[i]=(tmp*inv(a[i][i], mod))%mod;

完整代码：

 const int mod=;
 int gcd(int a, int b)
 {
     return b==? a:gcd(b, a%b);
 }
 int lcm(int a, int b)
 {
     return a/gcd(a, b)*b;
 }
 void ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
 {
     if(b)
     {
         ex_gcd(b, a%b, x, y);
         int tmp=x;
         x=y;
         y=tmp-(a/b)*y;
     }
     else
     {
         x=, y=;
         return ;
     }
 }

 int a[][];  // 增广矩阵
 int x[];  // 解
 int free_x[]; // 标记是否为自由未知量

 int Gauss(int n, int m) // n个方程 m个未知数 即 n行m+1列
 {
     //转换为阶梯形式
     int col=, k, num=;
     for(k=;k<n && col<m;k++, col++)
     {//枚举行
         int max_r=k;
         for(int i=k+;i<n;i++)//找到第col列元素绝对值最大的那行与第k行交换
             if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col]))
                 max_r=i;
         if(max_r!=k)// 与第k行交换
             for(int j=col;j<m+;j++)
                 swap(a[k][j], a[max_r][j]);
         if(!a[k][col])// 说明该col列第k行以下全是0了
         {
             k--;
             free_x[num++]=col;
             continue;
         }
         for(int i=k+;i<n;i++)// 枚举要删除的行
             if(a[i][col])
             {
                 int LCM=lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
                 int ta=LCM/abs(a[i][col]);
                 int tb=LCM/abs(a[k][col]);
                 if(a[i][col]*a[k][col]<)
                     tb=-tb;
                 for(int j=col;j<m+;j++)
                     a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%mod+mod)%mod;
             }
     }

     for(int i=k;i<n;i++)
         if(a[i][col])
             return -; // 无解

     if(k<m)   //m-k为自由未知量个数
         return m-k;

     //  唯一解 回代
     for(int i=m-;i>=;i--)
     {
         int tmp=a[i][m];
         for(int j=i+;j<m;j++)
         {
             if(a[i][j])
                 tmp-=a[i][j]*x[j];
             tmp=(tmp%+)%;
         }
         int xx, yy;
         ex_gcd(a[i][i], mod, xx, yy);
         xx=(xx%mod+mod)%mod;
         x[i]=(tmp*xx)%mod;
     }
     return ;
 }

 void init()
 {
     memset(a, , sizeof(a));
     memset(x, , sizeof(x));
 }

 int change(char c1, char c2)
 {
     if(c1=='M')
         return ;
     if(c1=='T' && c2=='U')
         return ;
     if(c1=='W')
         return ;
     if(c1=='T')
         return ;
     if(c1=='F')
         return ;
     if(c1=='S' && c2=='A')
         return ;
     return ;
 }

 char s1[], s2[];
 int main()
 {
     int n, m;
     while(~scanf("%d%d", &n, &m))
     {
         if(!n && !m)
             break;
         init();
         for(int i=;i<m;i++)
         {
             int X;
             scanf("%d%s%s", &X, s1, s2);
             a[i][n]=((change(s2[], s2[])-change(s1[], s1[])+)%mod+mod)%mod;
             while(X--)
             {
                 int t;
                 scanf("%d", &t);
                 a[i][t-]=(a[i][t-]+)%mod;
             }
         }
         int t=Gauss(m, n);
         if(t==-)
         {
             printf("Inconsistent data.\n");
             continue;
         }
         if(t==)
         {
             for(int i=;i<n;i++)
                 if(x[i]<=)
                     x[i]+=;
             for(int i=;i<n;i++)
             {
                 printf("%d", x[i]);
                 if(i==n-)
                     printf("\n");
                 else
                     printf(" ");
             }
             continue;
         }
         printf("Multiple solutions.\n");
     }
     return ;
 }

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