luogu P4726 多项式指数函数(模板题FFT、多项式求逆、多项式对数函数）

手动博客搬家: 本文发表于20181127 08:39:42, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/84559818

题目链接: https://www.luogu.org/problem/show?pid=4726

题意: 给定\(n\)次多项式\(A(x)\) 求多项式\(f(x)\)满足\(f(x)\equiv e^{A(x)} (\mod x^n)\)

题解

这个比对数函数复杂一些。。

前铺知识

泰勒展开

对于一个函数，我们可以用以下方式用它的高阶导数进行无穷逼近:

\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+f'''(a)\frac{(x-a)^3}{3!}+...
\]

牛顿迭代

已知要求的多项式\(f\)满足\(g(f(x))\equiv 0(\mod x^n)\) \(g\)已知，那么可以通过如下的方式倍增求解:

假设求出了原问题\(\mod x^n\)的答案\(f_0(x)\), 考虑转移到\(f(x) \mod x^{2n}\).

根据泰勒展开公式: $$0=g(f)=g(f_0)+g'(f_0)(f-f_0)+g''(f_0)\frac{(f-f_0)^2}{2!}+...$$

但是，由于一个显然的结论——\(f\equiv f_0(\mod x^n)\), 因此\((f-f_0)^2\equiv 0(\mod x^{2n})\), 因此公式里只需要计算前两项，后面的项都在\(\mod x^{2n}\)意义下为\(0\)!

即\(g(f_0)+g'(f_0)(f-f_0)=0\)

\(f=f_0-\frac{g(f_0)}{g'(f_0)}\)

如此即可求解。

本题题解

根据牛顿迭代的法则，令\(g(f)=\ln f-A\), 则\(f=f_0-\frac{\ln f_0-A}{\frac{1}{f_0}}=f_0(1-\ln f_0+A)\)

递归求解即可。

值得注意的是FFT的大小

\(A\)应该带入\(2n\)次, \(\ln f_0\)应该带入\(2n\)次, \(f_0\)应该带入\(n\)次, FFT乘法因为是\(2n\)次乘以\(n\)次，所以应该取到\(4n\)个单位根。

FFT这个地方太容易出错了！范围大了常数大好几倍，范围小了就会出错。

时间复杂度为\(T(n)=T(\frac{n}{2})+O(n\log n)\), \(T(n)=O(n\log n)\)

常数我算的应该是\(48\)倍。每次\(n\)到\(2n\)的迭代需要做一次\(2n\)的\(\ln\)和三次\(4n\)的DFT/IDFT. 因此\(18(2n\log n)+3(4n\log n)=48n\log n\).

(飞了……)

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define llong long long
#define ldouble long double
#define uint unsigned int
#define ullong unsigned long long
#define udouble unsigned double
#define uldouble unsigned long double
#define modinc(x) {if(x>=P) x-=P;}
#define pii pair<int,int>
#define piii pair<pair<int,int>,int>
#define piiii pair<pair<int,int>,pair<int,int> >
#define pli pair<llong,int>
#define pll pair<llong,llong>
#define Memset(a,x) {memset(a,x,sizeof(a));}
using namespace std;

const int N = 1<<19;
const int LGN = 19;
const int G = 3;
const int P = 998244353;
llong tmp1[N+3],tmp2[N+3],tmp3[N+3],tmp4[N+3]; //inv
llong tmp5[N+3],tmp6[N+3],tmp7[N+3],tmp8[N+3]; //ln
llong tmp9[N+3],tmp10[N+3],tmp11[N+3],tmp12[N+3]; //exp
llong a[N+3],b[N+3];
int id[N+3];
int n;

llong quickpow(llong x,llong y)
{
 llong cur = x,ret = 1ll;
 for(int i=0; y; i++)
 {
  if(y&(1ll<<i))
  {
   ret = ret*cur%P;
   y-=(1ll<<i);
  }
  cur = cur*cur%P;
 }
 return ret;
}
llong mulinv(llong x) {return quickpow(x,P-2);}

void initid(int dgr)
{
 int len = 0;
 for(int i=0; i<=LGN; i++) if(dgr==(1<<i)) {len = i; break;}
 id[0] = 0;
 for(int i=1; i<dgr; i++) id[i] = (id[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
}

void ntt(int dgr,int coe,llong poly[],llong ret[])
{
 initid(dgr);
 for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = poly[i];
 for(int i=0; i<dgr; i++) if(i<id[i]) swap(ret[i],ret[id[i]]);
 for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
 {
  llong tmp = quickpow(G,(P-1)/(i<<1));
  if(coe==-1) tmp = mulinv(tmp);
  for(int j=0; j<dgr; j+=(i<<1))
  {
   llong expn = 1ll;
   for(int k=0; k<i; k++)
   {
    llong x = ret[j+k],y = ret[j+k+i]*expn%P;
    ret[j+k] = x+y; modinc(ret[j+k]);
    ret[j+i+k] = x-y+P; modinc(ret[j+i+k]);
    expn = (expn*tmp)%P;
   }
  }
 }
 if(coe==-1)
 {
  llong tmp = mulinv(dgr);
  for(int j=0; j<dgr; j++) ret[j] = ret[j]*tmp%P;
 }
}

void polyinv(int dgr,llong poly[],llong ret[])
{
 for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = 0ll;
 ret[0] = mulinv(poly[0]);
 for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
 {
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp1[j] = j<i ? ret[j] : 0ll;
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp2[j] = j<(i<<1) ? poly[j] : 0ll;
  ntt((i<<2),1,tmp1,tmp3); ntt((i<<2),1,tmp2,tmp4);
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp3[j] = tmp3[j]*tmp3[j]%P*tmp4[j]%P;
  ntt((i<<2),-1,tmp3,tmp4);
  for(int j=0; j<(i<<1); j++) ret[j] = (tmp1[j]+tmp1[j]-tmp4[j]+P)%P;
 }
 for(int i=dgr; i<(dgr<<1); i++) ret[i] = 0ll;
}

void polyder(int dgr,llong poly[],llong ret[])
{
 for(int i=0; i<dgr-1; i++) ret[i] = poly[i+1]*(i+1)%P;
}

void polyint(int dgr,llong poly[],llong ret[])
{
 for(int i=1; i<dgr; i++) ret[i] = poly[i-1]*mulinv(i)%P;
}

void polyln(int dgr,llong poly[],llong ret[])
{
 for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = 0ll;
 polyder(dgr,poly,tmp5);
 polyinv(dgr,poly,tmp6);
 ntt((dgr<<1),1,tmp5,tmp7); ntt((dgr<<1),1,tmp6,tmp8);
 for(int i=0; i<(dgr<<1); i++) tmp7[i] = tmp7[i]*tmp8[i]%P;
 ntt((dgr<<1),-1,tmp7,tmp8);
 polyint(dgr,tmp8,ret);
}

void polyexp(int dgr,llong poly[],llong ret[])
{
 for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = i==0;
 for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
 {
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp9[j] = j>=(i<<1) ? 0ll : ((j==0)+poly[j])%P;
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp10[j] = j>=i ? 0ll : ret[j];
  polyln((i<<1),tmp10,tmp11);
  for(int j=0; j<(i<<1); j++) {tmp9[j] = tmp9[j]-tmp11[j]+P; modinc(tmp9[j]);}
  ntt((i<<2),1,tmp10,tmp12); ntt((i<<2),1,tmp9,tmp11);
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp12[j] = tmp12[j]*tmp11[j]%P;
  ntt((i<<2),-1,tmp12,tmp11);
  for(int j=0; j<(i<<1); j++) ret[j] = tmp11[j];
 }
}

int main()
{
 scanf("%d",&n); int dgr = 1; while(dgr<=n) dgr<<=1;
 for(int i=0; i<n; i++) scanf("%lld",&a[i]);
 polyexp(dgr,a,b);
 for(int i=0; i<n; i++) printf("%lld ",b[i]);
 return 0;
}