BZOJ 1597 [Usaco2008 Mar]土地购买：斜率优化dp

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1597

题意：

　　有n块矩形土地，长为a[i]，宽为b[i]。

　　FJ想要将这n块土地全部买下来。

　　土地可以分组购买。

　　若有某一些土地被分到了一组，则将这一组土地全部买下的花费为他们的max(a[i])*max(b[i])。

　　问你最小总花费是多少。

题解：

　　首先，如果一块土地能够被另一块土地完全包含（即长宽都比另一个小），那么被包含的那块土地可以忽略不计。

　　然后贪心地考虑如何使花费最小：

　　　　如果要使花费尽可能小，则分在同一组中矩形的长宽差距应尽可能地小。

　　所以将长a[i]作为第一关键字，将宽b[i]作为第二关键字排序。

　　此时矩形的长a[i]一定是非降的，那么对于两个矩形i和j(i<j)，如果有b[i]<=b[j]，则j一定能完全包含i。

　　利用这一特性将所有能被包含的矩形去掉。

　　此时矩形的宽b[i]就变成了严格递减的了。

　　显然，此时分到一组中的矩形必须是连续的一段区间，才有可能最优。

　　然后就可以dp了。

　　表示状态：

　　　　dp[i]表示已经购买了前i块土地的最小花费。

　　找出答案：

　　　　假设去掉能被包含的矩形之后，矩形总数为tot。

　　　　ans = dp[tot]

　　如何转移：

　　　　dp[i] = min dp[j] + a[i]*b[j+1]

　　边界条件：

　　　　dp[0] = 0

　　斜率优化：

　　　　设j < k，且k的决策更优。

　　　　则：dp[j] + a[i]*b[j+1] > dp[k] + a[i]*b[k+1]

　　　　整理得：(dp[k]-dp[j])/(b[j+1]-b[k+1]) < a[i]

　　　　所以slope(i,j) = (dp[i]-dp[j])/(b[j+1]-b[i+1])

　　　　由于a[i]非降，所以用单调队列维护下凸壳即可。

AC Code:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 #define MAX_N 50005

 using namespace std;

 struct Rect
 {
     long long a,b;
     Rect(long long _a,long long _b)
     {
         a=_a; b=_b;
     }
     Rect(){}
     friend bool operator < (const Rect &x,const Rect &y)
     {
         return x.a!=y.a ? x.a<y.a : x.b<y.b;
     }
 };

 int n;
 int q[MAX_N];
 long long dp[MAX_N];
 Rect x[MAX_N];

 void read()
 {
     cin>>n;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         cin>>x[i].a>>x[i].b;
     }
 }

 inline double slope(int i,int j)
 {
     return (double)(dp[i]-dp[j])/(x[j+].b-x[i+].b);
 }

 void work()
 {
     sort(x+,x++n);
     int tot=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         while(tot && x[i].b>=x[tot].b) tot--;
         x[++tot]=x[i];
     }
     x[tot+]=Rect(,);
     int l=,r=;
     q[]=,dp[]=;
     for(int i=;i<=tot;i++)
     {
         while(l<r && slope(q[l],q[l+])<=x[i].a) l++;
         dp[i]=dp[q[l]]+x[i].a*x[q[l]+].b;
         while(l<r && slope(q[r],i)<slope(q[r-],q[r])) r--;
         q[++r]=i;
     }
     cout<<dp[tot]<<endl;
 }

 int main()
 {
     read();
     work();
 }