Gcd HDU - 6545 （基础数论）

wls 有一个整数 n，他想将 1 − n 这 n 个数字分成两组，每一组至少有一个数，并且使得两组数字的和的最大公约数最大，请输出最大的最大公约数。

Input

输入一行一个整数 n。

2 ≤ n ≤ 1, 000, 000, 000

Output

输出一行一个整数表示答案。

Sample Input

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Sample Output

7

思路：

我们求1到n的sum和为sum，

分成的两组的sum和分别是sum1和sum2，

那么根据题意我们知道 sum1+sum2=sum

所求的答案就是 gcd(sum1,sum2) 中最大的，我们设为ans

根据gcd性质我们知道 gcd(sum1,sum2)=gcd(sum1,sum)=gcd(sum2,sum)

因为 gcd(x,y)=gcd(x,x+y)

那么我们可以得出等式 ：

sum1/ans+sum2/ans = sum/ans

显然ans是sum的一个因子，我们想得到的是最大的ans，即sum最大的因子。

如何找到一个数最大的因子呢？我们只需要暴力枚举找到sum最小的因子x ，sum/x=ans。

细节见代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iomanip>
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define sz(a) int(a.size())
#define all(a) a.begin(), a.end()
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define pii pair<int,int>
#define pll pair<long long ,long long>
#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))
#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define eps 1e-6
#define gg(x) getInt(&x)
#define chu(x) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
ll powmod(ll a,ll b,ll MOD){ll ans=1;while(b){if(b%2)ans=ans*a%MOD;a=a*a%MOD;b/=2;}return ans;}
inline void getInt(int* p);
const int maxn=1000010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/

int main()
{
    //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\in.txt","r",stdin);
    //freopen("D:\\common_text\\code_stream\\out.txt","w",stdout);

    ll n;
    cin>>n;
    if(n==2)
    {
        return puts("1");
    }else
    {
        ll sum=(n+1ll)*n/2ll;
        for(ll i=2ll;;++i)
        {
            if(sum%i==0)
            {
                cout<<sum/i<<endl;
                break;
            }
        }
    }

    return 0;
}

inline void getInt(int* p) {
    char ch;
    do {
        ch = getchar();
    } while (ch == ' ' || ch == '\n');
    if (ch == '-') {
        *p = -(getchar() - '0');
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 - ch + '0';
        }
    }
    else {
        *p = ch - '0';
        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {
            *p = *p * 10 + ch - '0';
        }
    }
}