ZROI 19.08.01 生成函数方法

写在前面：由于我数学基础不好，加上缺乏生成函数知识，所以这一下午我都处在掉线和非掉线的叠加态。而且我写$\LaTeX$很慢，所以笔记相当混乱而且不全面。说白了就是我太菜了听不懂。

1.一般生成函数

直接把序列写成多项式的形式。可以做个背包。

形式幂级数：只关心系数，不关心$x$的具体取值。只要运算方便，就可以把$x$取任意值来计算。

\[1+x+x^2+…=\frac{1}{1-x}\]

显然这个东西是不对的，比如$x=2$就gg了。

但是我们硬点$0<x<1$，它就是对的。

例题：求序列$\{0,1,4,…,n^2,…\}$的生成函数。

错位相减法去考虑就好。

\[f(x)=\sum_{i=0}i^2x^i\]

\[x\cdot f(x)=\sum_{i=1}(i-1)^2x^i=\sum_{i=1}i^2x^i+\sum_{i=1}-2i\cdot x^i+\sum_{i=1}x^i\]

\[(1-x)f(x)=2\sum_{i=1} i\cdot x^i-\sum_{x=1}x^i=\frac{2x}{(1-x)^2}-\frac{x}{1-x}\]

\[f(x)=\frac{x^2+x}{(1-x)^3}=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}\]

2.指数生成函数

形如$f(x)=\sum \frac{a_ix^i}{i!}$的东西，卷积的时候会自动生成一个组合数，适合解决排列组合型问题。

\[f(x)=\sum_{i=0} \frac{x^i}{i!}=e^x\]

$e^x$在零点处的展开就是上述式子，虽然我不知道怎么展开。

\[f(x)=\sum_{i=0} \frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\]

把$x=-x$代入第一个式子，然后两项相加。

\[f(x)=\sum_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\]

同理。

循环卷积

大概就是卷积之后对下标取模的结果。

FFT的本质就是一维循环卷积，只不过保证$n$（循环节）比较长，所以不会溢出（即，此处不需要取模）。

也可以扩展到二维，需要对两维都DFT一遍，下标取模。~~甚至可以扩展到$k$维，对每一维都单独做就好了。~~

为了循环卷积，我们需要对长度为循环节的数组做DFT，所以接下来老师讲了一个任意长度DFT的$O(k\log k)$神仙做法，而且我（几乎）听懂了，但是因为公式太长，我记不下来。出处是myy的paper。

$n$个点$m$条边的有向图，边权是一个二元组$(a_i,b_i)$，初始有一个二元组$(0,0)$，每经过一条边，权值会变为$((x+a_i)\mod n, (y+b_i)\mod(n-1))$。对每个三元组$(i,x,y)$，求出从点$i$出发，经过恰好$k$条边回到$i$点，最终权值为$(x,y)$的方案数。$n\leq 22, k \leq 10^9$。

显然这是一个二维循环卷积。矩阵快速幂的每个元素看作一个矩阵，乘法定义为二维循环卷积。对每个转移矩阵里的循环卷积矩阵预处理DFT，就能把单次循环卷积的复杂度降为$O(n^2)$，再进行矩阵快速幂，总复杂度$O(n^5\log k)$。

（顺便一提，上面的东西我只能勉强理解，写是不可能写出来的）

接下来是一个神题，好像是循环卷积开根，我掉线了。

$m$个点的图，任意一条长度为$k$的倍数的路径会对答案产生$C(n,len)$的贡献，答案对$p$取模。$m \leq 10,k\leq 1000,p \equiv1(\mod k),n\leq 10^{18}$。

每个点加一个自环，这样$C(n,len)$就转化成了长度恰好为$n$的路径，且贡献都是$1$。

考虑矩阵快速幂，但是每个点需要维护一个长度为$k$的数组，$f_i$表示长度$\equiv i (\mod k)$，这个数组的乘法定义为循环卷积。

暴力做是$O(m^3k^2\log n)$，但是可以用~~我也不会的~~某种玄妙的插值做出DFT，做到$O(m^3k\log n+k^2)$。

与Polya定理结合：一个$n$个点的环，染成$m$种颜色，要求每种颜色恰好$c_i$个。

发现可以把Polya定理套进去，直接生成函数做就好。

牛顿迭代

不会导数，不会Taylor展开，掉线了。

多项式求逆/除法/$\ln$/$\exp$/多点求值/多点插值

左转你谷模板区，请。不过NOI到19年也没有考过FFT，估计这东西学了也没啥用。

求$n$的分拆数（不降整数序列之和）。

$O(\sqrt n)$做法：

对于$a_i\leq \sqrt n$的情况，可以背包做。

否则，这样的$a_i$最多$\sqrt n$个，可以暴力。

$O(n \log n)$做法：

多项式$\ln$，多项式积分，多项式$\exp$。

这是什么？不知道。

然后又是一道神题，显然我又掉线了。

然后又是一道神题，显然我又掉线了。

然后又是一道神题，显然我又掉线了。

然后又是一道神题，显然我又掉线了。

嗯，不是你的网卡了。