ZROI 19.07.28 序列数据结构/jk

写在前面

dls：“我不会数据结构，但是APIO的数据结构场我写了，还是蛮简单的。”

T1 CF643G

Sol:

有一个\(O(n\log^2n)\)的做法：假设将区间排好序，取六等分点，则答案一定覆盖了若干点，求区间第\(k\)大即可。

~~然而会TLE~~

定义绝对众数为区间中出现超过一半的数。

有一个经典的做法求绝对众数，然而它要在保证有解的时候才保证正确性。

维护当前答案和出现次数，遇到相同则\(+1\)，不同则\(-1\)，降为\(-1\)的时候就把当前解替换。

显然如果有解的话，答案不会被替换掉（或者最后会换回来）。

可以扩展到\(p\not= \frac{1}{2}\)的情况，维护多个答案，调整加减权重即可。

可以用线段树维护上述操作。

~~顺便一提dls讲题的时候翻车了23333~~（被打死

线段树合并两个儿子的时候，先执行替换，再全部\(-1\)。正确性dls也不会不屑于证。

T2 HDU6087

Sol:

不会可持久化平衡树，告辞。

T4 CF453E

Sol：

序列可以分成若干段，每段都是同一时间清空的。

显然段的总数\(O(n)\)。

以按恢复满需要的时间为权建主席树，因为同一段恢复的时间是相同的，一次查询一整段，可以\(O(n\log n)\)做。

T5 CF1172F

Sol：

发现每个位置都是一个分段函数。

考虑用线段树维护区间内函数复合后的结果，可以证明长度为\(l\)的序列，对应的分段函数最多\(l+1\)段。

（证明：显然\(f(x)-x\)始终模\(p\)同余，且对于更大的\(x\)，“减去的\(p\)”的个数必然不会更少。由于\([l,r]\)最多减去\(r-l+1\)个\(p\)，故最多\(r-l+2\)段）

复合两个函数的时候可以双指针法，每次遇到左边的断点就在右边暴力回退，可以证明回退次数最多一次。

（这里本来应该有一个证明，可是它咕了）（貌似和上面证明有关？）

T6 CF1178G

Sol：

dls:“这题透露着一股垃圾题的气息。果然，\(n^2\)能过。”

标程是分块+凸包，~~lxl可能会喜欢~~

绝对值因为每个数只会变\(O(1)\)次，暴力做就好了。

对\((a_i, a_ib_i)\)建凸包，由于\(t_i\)单调，每次最大值只会右移。

复杂度\(O(n\sqrt n)\)，据说带\(\log\)会被卡。

有一个非常有趣的邪道解法：

线段树维护凸包，每个节点计算一个\(wait\)，表示再增加多少之后，这个节点的某个子树中，左右儿子大小关系就会改变。

每次修改只要不超过\(wait\)就可以打标记。

复杂度不会证明，但是跑的飞快。

T7

题意：维护一个序列，支持：

① 区间每个位置变成下标\(xor X\)的位置的值

② 区间每个下标\(xor X\)的位置变成这个位置的值

③ 区间xor

④ 区间下标二进制有奇数个1的位置的权值和

Sol:

可持久化trie维护一下，每次①②操作是一个子树复制，可能需要打标记啥的，dls懒得搞了（

T8 CF297E

Sol：

共有五种可能的情况，其中有一种很好算。

把线段看成点，两两之间如果相交连红边，否则连蓝边。

转化为统计同色三角形个数。

同色三角形\(=C(n,3)-\)异色三角形。

发现每个异色三角形恰好有两个异色角。

对每个点统计两种颜色的边个数即可。

T9 CF997E

Sol:

扫描线，对每个左端点维护到当前右端点的点数-边数\((x,x+1)\)，记作\(cnt\)。

假设新加入了\(x\)，将新加边的区间\(cnt\)修改。

线段树可以支持一种标记：对区间\(cnt\)最小值，\(ans+k\)。

然后就做完了。

T10 CF1034D

Sol:

\(k\)这么大，显然不能拿堆做。

可以二分答案。

判断的时候可以双指针。

每次加入\(r\)的时候把\(r\)对应的区间全部覆盖，判断的时候只需要知道\(>l\)的和。

可以用set维护，但是发现每次二分的时候，操作序列都是不变的。

因此预处理出每次操作之后的序列即可，复杂度\(O(n\log n + n\log T)\)。

T11 CF896E

Sol:

分块，用链表记录每块中为\(x\)的数。

在值域中启发式合并。

这样可以在\(O(x)\)内把某块的值域缩小\(x\)。

T12

题意：一个长为\(n\)的序列，支持对\([1,m],[m,r]\)归并排序（然而原序列无序，所以排序完也不一定有序），询问\(a_i\)

Sol:

发现可以划分成若干个段，每次按照段头归并。

可能会拆分若干段，但是每次最多合并一段。

平衡树维护即可。

T13 CF1148H

Sol:

不会。