题意

有一个含有\(2n(n \leqslant2000)\)个实数的数列,取出\(n\)个向上取整,另\(n\)个向下取整。问取整后数列的和与原数列的和的差的绝对值。

就是说,令\(a\)为原数列,\(b\)为取整后数列,求

\[min(abs(\sum_{i=1}^{2n}a-\sum_{i=1}^{2n}b))
\]

解题思路

刚开始大力猜了一波贪心结论,然后怒WA n发……

我也不知道怎么会想到以下这个奇怪的结论的……

如果我们设\(n\)个被向上取整的数的小数部分的和为\(a\)(其中本来为整数的有\(x\)个),设\(n\)个被向下取整的数的小数部分的和为\(b\)。那么答案就是\(ans=abs(b-(n-a-x))=abs(b+a-n+x)\)。同时我们注意到,原数列中所有数的和为\(sum=a+b\),所以呢,就有\(ans=abs(sum-n+x)\)。

这,个,东,西,和,\(a\),\(b\),没,有,关,系!!!

然后容易发现\(max(0,n-x)\leqslant x \leqslant min(n,x)\)。所以就容易得出答案了!

参考程序

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; const int Maxn = 2010;
double a[ Maxn << 1 ];
int n, t;//t就是上面说的x
double sum, ans; int main() {
scanf( "%d", &n );
for( int i = 1; i <= n * 2; ++i ) scanf( "%lf", &a[ i ] );
for( int i = 1; i <= n * 2; ++i )
if( a[ i ] - floor( a[ i ] ) <= 1e-18 ) t++;
for( int i = 1; i <= n * 2; ++i ) sum += a[ i ] - floor( a[ i ] );
ans = 1e9;
for( int i = max( 0, t - n ); i <= min( n, t ); ++i )
ans = min( ans, abs( sum - n + i ) );
printf( "%.3lf\n", ans );
return 0;
}

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