hyxzc_背包九讲课件

10

1 1 1 5 5 7 9 //体积

5 5 1 5 3 5 1//价值

 

01

完全

多重

分组

有依赖性

...

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01背包

vi ci

if (i+vi)

n 为物品数，m为背包容量

f[i][j]//表示在体积为j的情况下，装前i个物品时的最大价值。

那么在f[i-1][j]//取前i-1个物品的最大价值上考虑是否能放下第i的物品。

对于每一个物品，我们有两种选择，①是取，f[i][j]=f[i-1][j-v[i]]+c[i],②是不取
f[i][j]=f[i-1][j],
综上所述，f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+c[i]);

     
 

for (int i=1;i<=n;i++)

   for (int
j=m;j>0;j--)//思考，为什么是倒叙循环？

      if
(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+c[i]);
   
  

     
     
    else f[i][j]=f[i-1][j];

f[n][m]即为最优解。 

优化 ：① 用滚动数组来求。

     
 ② 用一维优化。//观察动态规划方程，我们不难发现，f[i][j]只与上一层有关。

for (int i=1,i<=n;i++)

   for (int j=v;j;j--)

     
 f[j]=max(f[j];f[j-v[i]]+c[i]); 

http://codevs.cn/problem/1068/

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完全背包

vi ci

与01背包最大的区别 对于每一个物品来说，可以选无数次。

解答上次思考:

 if 1->n

   if vi==4,
 ci==4

     
f[4]==4; f[8]==f[4]+4;

   也就是说 1->n,
对于一个物品，不止选一次。

也就是 完全背包。

  for (int i=1;i<=n;i++)

    for (int
j=1;j<=m;j++)//思考，为什么是倒叙循环？

      if
(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+c[i]);
   
  

     
     
    else f[i][j]=f[i-1][j];

同样 优化也有两种

   ① 用滚动数组来求。

   ② 用一维优化。

   for (int
i=1;i<=n;i++)

     
 for (int j=1;j<=m;j++)

     
   
 f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+c[i]);

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=311
 

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多重背包

也就是说限定物品选择的个数。

vi ci ki //对于第i个物品，体积为vi，价值ci，只能选择ki次。

① 将 ki 分为 ki 个物品，然后用01背包解决。

   代码：

      for
(int i=1;i<=n;i++)

     
   {

     
     
scanf("%d%d%d",&v,&c,&k);

     
     
 for (int j=1;j<=k;j++)

     
     
   
 s[++cnt].v=v,s[cnt].c=c;

     
    }

② 采用类似lca的方法，将k个物品分为 1,2,4,8,16，..... 2^n.

 
 这样对于每一个自然数i都可以被组合出来。然后再采用01背包。

   代码：

     
 while (n--)    
//接下来输入n中这个物品  

     
   {  

     
     
 scanf("%d%d%d", &vi, &ci, &ki);
 //输入每种物品的数目和价值  

     
     
 for (int k=1; k<=ki; k<<=1)
  //<<右移 相当于乘二  

     
     
  {  

     
     
    value[cnt]=k*vi;//体积
 

     
     
    size[cnt++]=k*ci;//价值
 

     
     
    ki-=k;
 

     
     
  }  

     
      if
(ki>0)  

     
     
  {  

     
     
    value[cnt]=ki*vi;
 

     
     
    size[cnt++]=ki*ci;
 

     
     
  }  

     
   }

http://codevs.cn/problem/3269/

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分组背包

  vi ci ki
//对于i的物品，体积为vi,价值为ci,属于第ki个分组，对于每一个分组而言，最多选一件。

  for k=1->K

     for
j=M->0    
  

     
   for
i=1->s[k]//当前分组中的所有元素

     
     
 f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+v[i]); 

  ps:注意三层循环的顺序，for j=m->0 必须在 for
i=1->s[k] 之外，这样才能保证每一个分组最多只会选1个物品。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1712

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有依赖性背包

直接上例题 

http://codevs.cn/problem/1155/

预处理分组，然后上分组背包。

说实话，这种题不难，但预处理很恶心。

   begin

   
 read(m,n);

   
 j:=0;

     for
i:=1 to n do

     
 begin

     
   read(x1,y1,z1);

     
   if z1=0 then begin inc(j);
inc(s[j,0].x); s[j,s[j,0].x].x:=x1; s[j,s[j,0].x].y:=x1*y1;
s[j,0].y:=i; end

     
     
     else

     
     
     
 begin

     
     
     
   for k:=1 to j do

     
     
     
     if
z1=s[k,0].y then

     
     
     
     
 begin

     
     
     
     
  z:=s[k,0].x;

     
     
     
     
 for l:=1 to z do

     
     
     
     
    begin

     
     
     
     
   
 inc(s[k,0].x);

     
     
     
     
   
 s[k,s[k,0].x].x:=s[k,l].x+x1;

     
     
     
     
   
 s[k,s[k,0].x].y:=s[k,l].y+x1*y1;

     
     
     
     
    end;

     
     
     
     
 end;

     
     
     
 end;

     
 end;

     
s[0,0].x:=j;

   end;

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背包问题的扩展

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
  多米诺骨牌

     
多米诺骨牌有上下2个方块组成，每个方块中有1~6个点。现有排成行的

上方块中点数之和记为S1，下方块中点数之和记为S2，它们的差为|S1-S2|。例如在图8-1中，S1=6+1+1+1=9，S2=1+5+3+2=11，|S1-S2|=2。每个多米诺骨牌可以旋转180°，使得上下两个方块互换位置。

编程用最少的旋转次数使多米诺骨牌上下2行点数之差达到最小。

对于图中的例子，只要将最后一个多米诺骨牌旋转180°，可使上下2行点数之差为0。

 输入输出格式 Input/output

输入格式：

输入文件的第一行是一个正整数n(1≤n≤1000)，表示多米诺骨牌数。接下来的n行表示n个多米诺骨牌的点数。每行有两个用空格隔开的正整数，表示多米诺骨牌上下方块中的点数a和b，且1≤a，b≤6。

输出格式：

输出文件仅一行，包含一个整数。表示求得的最小旋转次数。 

题解 ：

   
f[i][j]//表示前i个骨牌，点数相差j的翻动次数。

    动态转移方程：

    int cha=a[i]-c[i];

    for i=2->n

     
 for j=-5000->5000  

     
   
f[i][j]=min(f[i][j],min(f[i-1][j-a[i]],f[i-1][j+a[i]]+1));

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