算法导论-动态规划(最长公共子序列问题LCS)-C++实现

首先定义一个给定序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果，其形式化定义如下：给定一个序列X = <x₁,x₂ ,..., x_m>，另一个序列Z =<z₁,z₂ ,..., z_k> 满足如下条件时称为X的子序列，即存在一个严格递增的X的下标序列<i₁,i₂ ,..., i_k>，对于所有j = 1,2,...,k，满足x_ij = z_j，例如，Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列，对应的下标序列为<2,3,5,7>。给定两个序列X和Y，如果Z是X的子序列，也是Y的子序列，则称它是X和Y的公共子序列。

最长公共子序列问题(longest-common-subsequence problem)可用动态规划方法高效地求解。

步骤1：刻画最长公共子序列的特征

LCS问题具有 最优子结构性质。子问题的自然分类对应两个输入序列的“前缀"对。"前缀"的定义如下：给定一个序列X = <x₁,x₂ ,..., x_m>，对于i = 0,1,...,m，定义X的第i前缀为X_i = <x₁,x₂ ,..., x_i>。例如，若 X = <A,B,C,B,D,A,B>，则 X₄ = <A,B,C,B>，X₀为空串。

令X = <x₁,x₂ ,..., x_m>和Y = <y₁,y₂ ,..., y_n> 为两个序列，Z =<z₁,z₂ ,..., z_k>为X和Y的任意LCS。

1. 如果X_m = Y_n，则 Z_k =  X_m = Y_n且Z_k-1 是X_m-1和Y_n-1的一个LCS。
2. 如果 X_m ≠ Y_n，那么Z_k ≠  X_m意味着Z是X_m-1和Y的一个LCS。
3. 如果 X_m ≠ Y_n，那么Z_k ≠  Y_n意味着Z是X和Y_n-1的一个LCS。

步骤2：一个递归解

很容易看出LCS问题的重叠子问题性质。为了求X和Y的一个LCS，我们可能需要求X和Y_n-1的一个LCS及X_m-1和Y的一个LCS。但是这几个子问题都包含求解X_m-1和Y_n-1的LCS的子子问题。我们定义c[i,j]表示X_i和Y_j的LCS的长度。如果i= 0 或j = 0，即一个序列长度为0，那么LCS的长度为0，根据LCS问题的最优子结构性质，可得如下公式：

步骤3：计算LCS的长度

过程LCS-LENGTH接受两个序列X = <x₁,x₂ ,..., x_m>和Y = <y₁,y₂ ,..., y_n>为输入。它将c[i,j]的值保存在表c[0...m,0...n]中，过程还维护一个表b[1...m,1...n]，帮助构造最优解。b[i,j]指向的表项对应计算c[i,j]时所选择的子问题最优解。过程返回表b和表c，c[m,n]保存了X和Y的长度。

//伪代码
LCS-LENGTH(X,Y)
m = X.length
n = Y.length
let b[1..m,1..n] and c[0..m,0..n]be new tables
for i = 1 to m
    c[i,0] = 0
for j = 0 to n
    c[0,j] = 0
for i = 1 to m
    for j = 1 to n
　　　　if xi == yi
　　　　　　c[i,j] = c[i-1,j-1] + 1
　　　　　　b[i,j] = "\"

　　　　else if c[i-1,j] ≥ c[i,j-1]

　　　　　　c[i,j] = c[i-1,j]

　　　　　　b[i,j] = "|"

　　　　else

　　　　　　c[i,j] = c[i,j-1]

　　　　　　b[i,j] = "—"

return c and b

下图显示了LCS-LENGTH对输入序列X= <A,B,C,B,D,A,B>和Y=<B,D,C,A,B,A>生成的结果。过程的运行时间为O(mn)。

步骤4：构造LCS

利用LCS-LENGTH返回的表b快速构造X和Y的LCS,只需简单地从b[m,n]开始，并按箭头方向追踪下去即可。挡在表项b[i,j]中遇到一个”\"时，意味着x_i=y_i是LCS的一个元素。下面的递归过程会按正确的顺序打印出X和Y的一个LCS。对它的起始调用为PRINT-LCS(b,X,X.length,Y.length)。

PRINT-LCS(b,X,i,j)

　　if == 0 or j==0

　　　　return

　　if b[i,j] == "\"

　　　　PRINT-LCS(b,X,i-1,j-1)

　　　　print x_i

　　else if b[i,j] == "|"

　　　　PRINT-LCS(b,X,i-1,j)

　　else

　　　　PRINT-LCS(b,X,i,j-1)

实现：

 void lcsLength(string x,string y, vector< vector<int>> &c, vector< vector<char>> &b)
 {
     int m = x.size();
     int n = y.size();
     c.resize(m+);
     b.resize(m+);
     for(int i = ; i < c.size(); ++i)
         c[i].resize(n+);
     for(int i = ; i < b.size(); ++i)
         b[i].resize(n+);

     for(int i = ; i <= m; ++i){
         for(int j = ; j <= n; ++j){
             if(x[i-] == y[j-]){
                 c[i][j] = c[i-][j-]+;
                 b[i][j] = 'c';
             }else if(c[i-][j] >= c[i][j-]){
                 c[i][j] = c[i-][j];
                 b[i][j] ='u';
             }else{
                 c[i][j] = c[i][j-];
                 b[i][j] = 'l';
             }
         }
     }
 }

 void print_lcs(vector< vector<char>> &b,string x, int i, int j)
 {
     if(i ==  || j == )
         return;
     if(b[i][j] == 'c'){
         print_lcs(b,x,i-,j-);
         cout << x[i-];
     }else if(b[i][j] == 'u')
         print_lcs(b,x,i-,j);
     else
         print_lcs(b,x,i,j-);
 }

例子：

 int main()
 {
     string x = "ABCBDAB";
     string y = "BDCABA";
     vector< vector<int>> c;
     vector< vector<char>> b;

     lcsLength(x,y,c,b);
     print_lcs(b,x,x.size(),y.size());
 }

输出：