数据结构 -- 简单图的实现与遍历 (Java)

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　　前些天因为某些原因,就试着回想一下图(graph)的相关内容,没想脑子里一片空白,只怪当初没有好好听这门课.然后就学习了一下,这里做个小总结.　

1.概念　

　　简单图(simple graph):就是由一些顶点(V,vertice) 和 连接这些顶点的一些边(E,edge)所组成的结构,并且每对顶点之间只能存在一条边.所以通常会用G = (V,E)来表示一个简单图.简单图也被称为无向图(undirected graph).

　　说到无向图就一定有有向图(directed graph),有向图同样也用G = (V,E)来表示,都明白两种图的区别是什么,就不多说了.不过在这里说一些表示边时候的区别:

　　简单图的边使用{V_i,V_j}的方式表示,表示连接顶点i与顶点j的边.因为是简单图,所以有:

• 　　　{V_i,V_j} = {V_j,V_i,}    

　　有向图的边使用(V_i,V_j)的方式表示.意思是当前边的方向是从顶点i到顶点j,所以很明显有:

• 　　     (V_i,V_j) ≠ (V_j,V_i)   

2.图的表示

　　有很多方法可以表示一个图,不过思想上大致都一样.比如下面一个图(本文之后都会用这个图来作为例子):

图1

　　自己画的,或许丑了点:)

　　先看使用邻接表(adjacency list)来表示该图:

V0	V1   V2
V1	V0   V3
V2	V0   V3   V4
V3	V1   V2   V5   V6
V4	V2   V7
V5	V3   V6
V6	V3   V5
V7	V4

　　仔细观察就会发现，邻接表是在首列按顺序（正序倒序都可）列出所有顶点，然后第二行列出与顶点相邻的所有顶点，例如第一行，图中与V0相邻的顶点有V1与V2.所以第二列的内容便是 V1 与 V2.

　　另一种表示方法是使用邻接矩阵（adjacency matrix），思想与邻接表大致相同，不同的是邻接表是将与某一顶点相邻的顶点们列出，而邻接矩阵是将他们标注出。顾名思义就是使用矩阵表示，如在本例中，一共有8个顶点，所以此时邻接矩阵的大小就为8*8。如下：

	V0	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7
V0	oo	1	1	oo	oo	oo	oo	oo
V1	oo	oo	oo	1	oo	oo	oo	oo
V2	oo	oo	oo	1	1	oo	oo	oo
V3	oo	1	1	oo	oo	1	1	oo
V4	oo	oo	1	oo	oo	oo	oo	1
V5	oo	oo	oo	1	oo	oo	1	oo
V6	oo	oo	oo	1	oo	1	oo	oo
V7	oo	oo	oo	oo	1	oo	oo	oo

　　观察可以发现，如果顶点i与顶点j之间存在边，就将矩阵的a_ij项设为1，其他情况就设为无穷大(oo)。公式就是：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛   1    边(V_i ,V_j)存在

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a_{ij = {}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛   无穷大    其他情况

　　如果对于有向图,此公式就得改为:

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛   1    边{V_i ,V_j}存在

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a_{ij = {}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛   无穷大    其他情况

　　

　　对于使用哪种表示法，这要取决与你所要处理的问题，如果你仅仅只是处理与某一顶点邻接的顶点，例如遍历，很明显使用表比使用矩阵所要步数要少很多。当你需要对图进行插入或者删除顶点的操作，就应该使用邻接矩阵，你只需要将矩阵上的数从0变为1，或者从1变为0即可。而使用邻接表，你还得要对表进行维护。

　　本例就选用邻接矩阵来表示图1,用二维数组就能直接实现,无穷大被换成了名为oo的变量.如下:

         int oo = Integer.MAX_VALUE;
         int[][] racs1 = new int[][]{
                 {oo, 1, 1,oo,oo,oo,oo,oo},
                 { 1,oo,oo, 1,oo,oo,oo,oo},
                 { 1,oo,oo, 1, 1,oo,oo,oo},
                 {oo, 1, 1,oo,oo, 1, 1,oo},
                 {oo,oo, 1,oo,oo,oo,oo, 1},
                 {oo,oo,oo, 1,oo,oo, 1,oo},
                 {oo,oo,oo, 1,oo, 1,oo,oo},
                 {oo,oo,oo,oo, 1,oo,oo,oo},
         };

　　

　　除此之外,这里还设定义了一个数组,用于为每个顶点添加一些信息.也就是各个顶点的名字.如果对与具体的问题,例如每个顶点代表地图上的一个城市,可使用像"北京","上海"城市名.当然可以很据特定情况将顶点的相关内容封装一下.

         String[] verticeInfos1 = new String[] {
                 "V0","V1","V2","V3","V4","V5","V6","V7"
         };

　　另:有一种图中有孤立顶点的情况，假设上面的图中有还有一个顶点V8，但它不与任何其他顶点相邻，则该怎么用表或者矩阵来表示那？就当留给大家的一个小问题。

3.图的遍历

　　3.1 先写一个名为Graph的类.用这个类来封装图的相关字段和遍历方法.先看类的字段与构造方法:

 /**
  * 使用邻接矩阵实现图<p>
  * 深度优先遍历与广度优先遍历<p>
  * 求最短路径:<p>
  *      1. Dijkstra 算法 <p>
  *      2. Ford 算法 <p>
  *      3. 通用型的纠正标记算法<p>
  * Created by Henvealf on 16-5-22.
  */
 public class Graph<T> {
     private int[][] racs;       //邻接矩阵
     private T[] verticeInfo;   //各个点所携带的信息.

     private int verticeNum;             //节点的数目,
     private int[] visitedCount;         //记录访问
     private int[] currDist;             //最短路径算法中用来记录每个节点的当前路径长度.

     public Graph(int[][] racs, T[] verticeInfo){
         if(racs.length != racs[0].length){
             throw new IllegalArgumentException("racs is not a adjacency matrix!");
         }
         if(racs.length != verticeInfo.length ){
             throw new IllegalArgumentException ("Argument of 2 verticeInfo's length is error!");
         }
         this.racs = racs;
         this.verticeInfo = verticeInfo;
         verticeNum = racs.length;
         visitedCount = new int[verticeNum];
     }
     //.....其他方法
 }

　　这里使用了模板来模板化 verticeInfos.

　　还要说明的便是数组 int[] visitedCount; 其作用是为了标记图中的顶点是否被访问过. visitedCount[i] == 0 就说明顶点 i 还未被访问过,所以在进行遍历操作前需要初始化该数组全为0.方法如下:　　

     /**
      * 将记录访问的数组初始化为0
      */
     private void initVisitedCount(){
         for(int i = ; i < visitedCount.length; i ++){　　
             visitedCount[i] = ;
         }
     }

　　3.2 图的遍历和树的遍历类似,分为深度优先遍历与广度优先遍历.

　　深度优先遍历,简单说就是先沿着一条路线最靠左或最靠右的路线往下走,并把路过的顶点标记为已访问.一直走到无路可走,或者下一站的顶点都被已经访问过了,就顺着刚才走过的路往回看(回溯),当发现回溯中的某一顶点还有其他未被访问过的分支的时候,就选择这个分支继续,重复上面的过程继续遍历.直到回溯到了遍历的出发点,就结束遍历.但如果检查发现图中还存在未被访问过的顶点,就说明图中还存在孤立与本图的分图.此时则任意选择一个未被访问过的顶点继续访问.  最后当图中所有的顶点都被访问过的时候,就说明遍历完成.　

　　所以这里需要一个方法,用来判断图中顶点的访问情况:

     /**
      * 寻找没有被访问过的顶点.
      * @return > 0 即为还未被访问过的顶点.   -1 说明所有的节点都被访问过了.
      */
     private int findNotVisited(){
         for(int i = ; i < noteNum; i ++){
             if(visitedCount[i] == ){
                 return i;
             }
         }
         return -;
     }

　　要寻找与顶点的相邻节点时,我们可以发现简单图的邻接矩阵以对角线对称,所以寻找相邻顶点的时候只需要遍历一半就可以,大大的提高了遍历的效率,不过对于有向图就需要遍历全图.这里只讨论简单图,有向图自行修改区分便可,这里是遍历全图:

     /**
      * 深度遍历的递归
      * @param begin  从第几个节点开始遍历
      */
     public void DFS(int begin, Queue<T> edges){
         visitedCount[begin] = 1;                         //标记begin为已访问
         edges.offer(verticeInfo[begin]);                 //加入记录队列
         for(int a = 0; a < verticeNum; a++){             //遍历相邻的点
             if((racs[begin][a] != Integer.MAX_VALUE)&& visitedCount[a] == 0){   //相邻的点未被访问过
                 DFS(a,edges);
             }
         }
     }

     /**
      * 开始深度优先遍历
      * @return  返回保持有遍历之后的顺序的队列
      */
     public Queue<T> depthFirstSearch(){
         initVisitedCount();         //将记录访问次序的数组初始化为0
         Queue<T> edges = new LinkedList<>();    //用于存储遍历过的点,用于输出
         int begin = -1;
         while((begin = findNotVisited()) != -1){        //不等于-1说明还有未访问过的点
             DFS(begin,edges);
         }
         return edges;
     }

　　广度优先遍历.与树的广度优先遍历相似,就是逐层遍历.代码如下:

     /**
      * 广度优先遍历
      * @return  返回保持有遍历之后的顺序的队列
      */
     public Queue<T> breadthFirstSearch(){
         initVisitedCount();                          //将记录访问次序的数组初始化为0
         Queue<Integer> tallyQueue = new LinkedList<>();             //初始化队列
         Queue<T> edges = new LinkedList<>();    //用于存储遍历过的点,用于输出
         int nowVertice = -1;                         //当前所在的点
         while((nowVertice = findNotVisited()) != -1){   //寻找还未被访过问的点
             visitedCount[nowVertice] = 1;             //设置访问标记
             edges.offer(verticeInfo[nowVertice]);
             tallyQueue.offer(nowVertice);               //将当前孤立部分一个顶点加入记录队列中
             while(!tallyQueue.isEmpty()){                           //只要队列不为空
                 nowVertice = tallyQueue.poll();                     //取出队首的节点
                 for(int a = 0; a < verticeNum; a++){     //遍历所有和nowVertice相邻的节点
                     if((racs[nowVertice][a] != Integer.MAX_VALUE) && visitedCount[a] == 0) {                      //没有访问过
                         visitedCount[a] = 1;                        //记为标记过
                         tallyQueue.offer(a);                        //加入队列,上面会继续取出.来遍历
                         edges.offer(verticeInfo[a]);                      //记录
                     }
                 }
             }
         }
         return edges;
     }

　　这里需要两个队列,一个队列用于存储遍历过程,另一个用于保存第n层被遍历的顺序,等到遍历第n+1层的时候,取出的顶点就是按照上层的顺序来排列,也就能按照上层的顺序来继续遍历.

下面是Graph完整代码:

 package com.henvealf.datastructures.graph.arcs;

 import java.util.*;

 /**
  * 使用邻接矩阵实现图<p>
  * 深度优先遍历与广度优先遍历<p>
  * 求最短路径:<p>
  *      1. Dijkstra 算法 <p>
  *      2. Ford 算法 <p>
  *      3. 通用型的纠正标记算法<p>
  * Created by Henvealf on 16-5-22.
  */
 public class Graph<T> {
     private int[][] racs;       //邻接矩阵
     private T[] verticeInfo;   //各个点所携带的信息.

     private int verticeNum;             //节点的数目,
     private int[] visitedCount;         //记录访问
     private int[] currDist;             //最短路径算法中用来记录每个节点的当前路径长度.

     public Graph(int[][] racs, T[] verticeInfo){
         if(racs.length != racs[0].length){
             throw new IllegalArgumentException("racs is not a adjacency matrix!");
         }
         if(racs.length != verticeInfo.length ){
             throw new IllegalArgumentException ("Argument of 2 verticeInfo's length is error!");
         }
         this.racs = racs;
         this.verticeInfo = verticeInfo;
         verticeNum = racs.length;
         visitedCount = new int[verticeNum];
     }

     /**
      * 深度遍历的递归
      * @param begin  从第几个节点开始遍历
      */
     public void DFS(int begin, Queue<T> edges){
         visitedCount[begin] = 1;                         //标记begin为已访问
         edges.offer(verticeInfo[begin]);                 //加入记录队列
         for(int a = 0; a < verticeNum; a++){             //遍历相邻的点
             if((racs[begin][a] != Integer.MAX_VALUE)&& visitedCount[a] == 0){   //相邻的点未被访问过
                 DFS(a,edges);
             }
         }
     }

     /**
      * 开始深度优先遍历
      * @return  返回保持有遍历之后的顺序的队列
      */
     public Queue<T> depthFirstSearch(){
         initVisitedCount();         //将记录访问次序的数组初始化为0
         Queue<T> edges = new LinkedList<>();    //用于存储遍历过的点,用于输出
         int begin = -1;
         while((begin = findNotVisited()) != -1){        //不等于-1说明还有未访问过的点
             DFS(begin,edges);
         }
         return edges;
     }

     /**
      * 广度优先遍历
      * @return  返回保持有遍历之后的顺序的队列
      */
     public Queue<T> breadthFirstSearch(){
         initVisitedCount();                          //将记录访问次序的数组初始化为0
         Queue<Integer> tallyQueue = new LinkedList<>();             //初始化队列
         Queue<T> edges = new LinkedList<>();    //用于存储遍历过的点,用于输出
         int nowVertice = -1;                         //当前所在的点
         while((nowVertice = findNotVisited()) != -1){   //寻找还未被访过问的点
             visitedCount[nowVertice] = 1;             //设置访问标记
             edges.offer(verticeInfo[nowVertice]);
             tallyQueue.offer(nowVertice);               //将当前孤立部分一个顶点加入记录队列中
             while(!tallyQueue.isEmpty()){                           //只要队列不为空
                 nowVertice = tallyQueue.poll();                     //取出队首的节点
                 for(int a = 0; a < verticeNum; a++){     //遍历所有和nowVertice相邻的节点
                     if((racs[nowVertice][a] != Integer.MAX_VALUE) && visitedCount[a] == 0) {                      //没有访问过
                         visitedCount[a] = 1;                        //记为标记过
                         tallyQueue.offer(a);                        //加入队列,上面会继续取出.来遍历
                         edges.offer(verticeInfo[a]);                      //记录
                     }
                 }
             }
         }
         return edges;
     }

     /**
      * 寻找没有被访问过的顶点.
      * @return > 0 即为还未被访问过的顶点.   -1 说明所有的节点都被访问过了.
      */
     private int findNotVisited(){
         for(int i = 0; i < verticeNum; i ++){
             if(visitedCount[i] == 0){
                 return i;
             }
         }
         return -1;
     }

     /**
      * 将记录访问的数组初始化为0
      */
     private void initVisitedCount(){
         for(int i = 0; i < visitedCount.length; i ++){
             visitedCount[i] = 0;
         }
     }
 }

下面测试类:

package com.henvealf.datastructures.graph.arcs;

import java.util.Queue;

/**
 * 图的测试类
 * Created by Henvealf on 16-5-22.
 */
public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        int[][] racs = new int[][]{
                {0,1,0,1,0,},
                {1,0,1,0,1,},
                {0,1,0,1,1,},
                {1,0,1,0,0,},
                {0,1,1,0,0,},
        };
        int oo = Integer.MAX_VALUE;
        int[][] racs1 = new int[][]{
                {oo, 1, 1,oo,oo,oo,oo,oo},
                { 1,oo,oo, 1,oo,oo,oo,oo},
                { 1,oo,oo, 1, 1,oo,oo,oo},
                {oo, 1, 1,oo,oo, 1, 1,oo},
                {oo,oo, 1,oo,oo,oo,oo, 1},
                {oo,oo,oo, 1,oo,oo, 1,oo},
                {oo,oo,oo, 1,oo, 1,oo,oo},
                {oo,oo,oo,oo, 1,oo,oo,oo},
        };

        String[] verticeInfos1 = new String[] {
                "V0","V1","V2","V3","V4","V5","V6","V7"
        };
        Graph<String> graph = new Graph<>(racs2,verticeInfos2);
        Queue<String> dr = graph.depthFirstSearch();
        Queue<String> br = graph.breadthFirstSearch();

        System.out.println("--遍历");
        System.out.println("----深度优先结果: " + dr);
        System.out.println("----广度优先结果: " + br);
}

不足之处,请多多指出,感激不尽.

End...   By Henvealf/自安