基于python的数学建模---时间序列

JetRail高铁乘客量预测——7种时间序列方法

数据获取：获得2012-2014两年每小时乘客数量

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

df = pd.read_csv('C:\\Users\\Style\\Desktop\\jetrail.csv', nrows=11856)
df.head()
print(df.head())

从2012年8月—2013年12月的数据中构造一个数据集

创建train and test文件用于建模。前14个月（2012年8月—2013年10月）用作训练数据，后两个月（2013年11月—2013年12月）用作测试数据。

以每天为单位聚合数据集

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

df = pd.read_csv('../profile/train2.csv',nrows=11856)

train = df[0:10392]  # 前14个月 一共10392个小时
test = df[10392:]
    　　                             #上表中的 datatime
df['Timestamp'] = pd.to_datetime(df['Datetime'], format='%d-%m-%Y %H:%M')  # 4位年用Y，2位年用y
df.index = df['Timestamp']
df = df.resample('D').mean() #按日历采样，计算均值

train['Timestamp'] = pd.to_datetime(train['Datetime'], format='%d-%m-%Y %H:%M')
train.index = train['Timestamp']
train = train.resample('D').mean() 

test['Timestamp'] = pd.to_datetime(test['Datetime'], format='%d-%m-%Y %H:%M')
test.index = test['Timestamp']
test = test.resample('D').mean()

train.Count.plot(figsize=(15,8), title= 'Daily Ridership', fontsize=14)
test.Count.plot(figsize=(15,8), title= 'Daily Ridership', fontsize=14)
plt.show()

结果如下  大致成上升趋势 

1.1 朴素法

如果数据集在一段时间内都很稳定，我们想预测第二天的价格，可以取前面一天的价格，预测第二天的值。这种假设第一个预测点和上一个观察点相等的预测方法就叫朴素法。

dd = np.asarray(train['Count'])
y_hat = test.copy()
y_hat['naive'] = dd[len(dd) - 1]
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.plot(train.index, train['Count'], label='Train')
plt.plot(test.index, test['Count'], label='Test')
plt.plot(y_hat.index, y_hat['naive'], label='Naive Forecast')
plt.legend(loc='best')
plt.title("Naive Forecast")
plt.show()

最终均方根误差

from sklearn.metrics import mean_squared_error
from math import sqrt

rms = sqrt(mean_squared_error(test['Count'], y_hat['naive']))  # 真实的Y和预测的Y值
print(rms)

43.91640614391676

1.2 简单平均法

我们经常会遇到一些数据集，虽然在一定时期内出现小幅变动，但每个时间段的平均值确实保持不变。这种情况下，我们可以预测出第二天的价格大致和过去天数的价格平均值一致。这种将预期值等同于之前所有观测点的平均值的预测方法就叫简单平均法。

y_hat_avg = test.copy()
y_hat_avg['avg_forecast'] = train['Count'].mean()
plt.figure(figsize=(12,8))
plt.plot(train['Count'], label='Train')
plt.plot(test['Count'], label='Test')
plt.plot(y_hat_avg['avg_forecast'], label='Average Forecast')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

最终均方根误差

from sklearn.metrics import mean_squared_error
from math import sqrt
rms = sqrt(mean_squared_error(test['Count'], y_hat_avg['avg_forecast']))
print(rms)

109.88526527082863

1.3 移动平均法

物品价格在一段时间内大幅上涨，但后来又趋于平稳。我们也经常会遇到这种数据集，比如价格或销售额某段时间大幅上升或下降。

y_hat_avg = test.copy()
y_hat_avg['moving_avg_forecast'] = train['Count'].rolling(60).mean().iloc[-1]
plt.figure(figsize=(16,8))
plt.plot(train['Count'], label='Train')
plt.plot(test['Count'], label='Test')
plt.plot(y_hat_avg['moving_avg_forecast'], label='Moving Average Forecast')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

最终均方根误差

from sklearn.metrics import mean_squared_error
from math import sqrt
rms = sqrt(mean_squared_error(test['Count'], y_hat_avg['moving_avg_forecast']))
print(rms)

46.72840725106963

1.4 简单指数平滑法（之后效果更佳）

from statsmodels.tsa.api import SimpleExpSmoothing

y_hat_avg = test.copy()
fit = SimpleExpSmoothing(np.asarray(train['Count'])).fit(smoothing_level=0.6, optimized=False)
y_hat_avg['SES'] = fit.forecast(len(test))
plt.figure(figsize=(16, 8))
plt.plot(train['Count'], label='Train')
plt.plot(test['Count'], label='Test')
plt.plot(y_hat_avg['SES'], label='SES')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

最终均方根误差

from sklearn.metrics import mean_squared_error
from math import sqrt

rms = sqrt(mean_squared_error(test['Count'], y_hat_avg['SES']))
print(rms)

43.357625225228155

1.5 霍尔特线性趋势法

每个时序数据集可以分解为相应的几个部分：趋势（Trend），季节性(Seasonal)和残差(Residual)。任何呈现某种趋势的数据集都可以用霍尔特线性趋势法用于预测。

import statsmodels.api as sm

sm.tsa.seasonal_decompose(train['Count']).plot()
result = sm.tsa.stattools.adfuller(train['Count'])
plt.show()

我们将这两个方程相加，得出一个预测函数。我们也可以将两者相乘而不是相加得到一个乘法预测方程。当趋势呈线性增加和下降时，我们用相加得到的方程；当趋势呈指数级增加或下降时，我们用相乘得到的方程。实践操作显示，用相乘得到的方程，预测结果会更稳定，但用相加得到的方程，更容易理解

from statsmodels.tsa.api import Holt

y_hat_avg = test.copy()

fit = Holt(np.asarray(train['Count'])).fit(smoothing_level=0.3, smoothing_slope=0.1)
y_hat_avg['Holt_linear'] = fit.forecast(len(test))

plt.figure(figsize=(16, 8))
plt.plot(train['Count'], label='Train')
plt.plot(test['Count'], label='Test')
plt.plot(y_hat_avg['Holt_linear'], label='Holt_linear')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

最终均方根误差

from sklearn.metrics import mean_squared_error
from math import sqrt

rms = sqrt(mean_squared_error(test['Count'], y_hat_avg['Holt_linear']))
print(rms)

43.056259611507286

1.6 Holt-Winters季节性预测模型

在应用这种算法前，我们先介绍一个新术语。假如有家酒店坐落在半山腰上，夏季的时候生意很好，顾客很多，但每年其余时间顾客很少。因此，每年夏季的收入会远高于其它季节，而且每年都是这样，那么这种重复现象叫做“季节性”（Seasonality）。如果数据集在一定时间段内的固定区间内呈现相似的模式，那么该数据集就具有季节性。

from statsmodels.tsa.api import ExponentialSmoothing

y_hat_avg = test.copy()
fit1 = ExponentialSmoothing(np.asarray(train['Count']), seasonal_periods=7, trend='add', seasonal='add', ).fit()
y_hat_avg['Holt_Winter'] = fit1.forecast(len(test))
plt.figure(figsize=(16, 8))
plt.plot(train['Count'], label='Train')
plt.plot(test['Count'], label='Test')
plt.plot(y_hat_avg['Holt_Winter'], label='Holt_Winter')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

最终均方根误差

from sklearn.metrics import mean_squared_error
from math import sqrt

rms = sqrt(mean_squared_error(test['Count'], y_hat_avg['Holt_Winter']))
print(rms)

25.264160714051183

1.7 自回归移动平均模型（ARIMA）

指数平滑模型都是基于数据中的趋势和季节性的描述，而自回归移动平均模型的目标是描述数据中彼此之间的关系。ARIMA的一个优化版就是季节性ARIMA。它像Holt-Winters季节性预测模型一样，也把数据集的季节性考虑在内。

import statsmodels.api as sm

y_hat_avg = test.copy()
fit1 = sm.tsa.statespace.SARIMAX(train.Count, order=(2, 1, 4), seasonal_order=(0, 1, 1, 7)).fit()
y_hat_avg['SARIMA'] = fit1.predict(start="2013-11-1", end="2013-12-31", dynamic=True)
plt.figure(figsize=(16, 8))
plt.plot(train['Count'], label='Train')
plt.plot(test['Count'], label='Test')
plt.plot(y_hat_avg['SARIMA'], label='SARIMA')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

最终均方根误差

from sklearn.metrics import mean_squared_error
from math import sqrt

rms = sqrt(mean_squared_error(test['Count'], y_hat_avg['SARIMA']))
print(rms）

26.069547371326845