[题解]Balance

1.题目

POJ-1837

2.题目大意

一个天平上有一些钩子，现在有一些砝码。给出每个钩子到原点（姑且这么叫吧）的距离(-15 ~ 15，负数代表在左边，正数相反)以及砝码的重量(1 ~ 20)，求出把所有的砝码挂上天平并且让天平保持平衡的方案数。

3.分析

显然，暴力枚举必然会TLE。那么，看到方案总数四个数就想到了数论和DP。

在这道题里，可以看出要用DP。

设\(f_{i,j}\)为：把前 \(i\) 个砝码全部放到天平，倾斜度为 \(j\) 的方案总数。

规定正数为向右偏，负数为向左偏。

这里讲一下输入数据对于答案的贡献：如果第 \(i\) 个砝码放在 \(dis_k\) 的位置时，它的倾斜度为：dis[k]*wei[i]。

那么，必然有负数下标，所以改用Pascal所以要把所有 \(j\) 加上一个数，使得全是正数。考虑题目的极限数据：距离范围最大15，重量范围最大25，个数范围最大20，所以极限倾斜度为：\(15 \times 25 \times 20=7500\)。所以，所有的 \(j\) 都要加上7500。答案为：\(f_{n,7500}\)。

假设我们已经成功的推出了 \(f_{i-1,j}\) 考虑转移方程。显然，我们可以枚举第 \(i\) 个砝码的位置，所以所有的位置都要试一遍。假设我们放在第 \(k\) 个位置，\(j=j+dis_k \times wei_i\)。那么，现在仅仅是多放第 \(i\) 个砝码在第 \(k\) 个位置，所以方案数是没有变动的。换而言之，\(f_{i,j+dis_k \times wei_i}\)是要继承\(f_{i-1,j}\)的方案总数的。

注意，这里我们是 \(f_{i-1,j} \to f_{i,j+dis_k \times wei_i}\) 的，因为 \(k\) 是有变动的，所以 \(f_{i-1,j}\)有对多个状态有贡献。它们必然会形成一张复杂的网，那么对同一个状态重复贡献，所以需要把贡献给加起来。其实最好的办法就是当 \(f_{i-1,j} \to f_{i,j+dis_k \times wei_i}\)时，做一个操作f[i][j+dis[k]*wei[i]]+=f[i-1][j]。

4.代码

如果还是看不懂，看看代码吧。

抄袭可耻！！！

4.1dp代码

for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=0;j<=15000;++j)
		for(int k=1;k<=m;++k)
			f[i][j+dis[k]*wei[i]]+=f[i-1][j];

4.2AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int m,n,dis[23],wei[23],f[23][15003];
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=m;++i)	scanf("%d",&dis[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i)	scanf("%d",&wei[i]);
	f[0][7500]=1;\\这里相当于一开始什么都没放
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=15000;++j)
			for(int k=1;k<=m;++k)
				f[i][j+dis[k]*wei[i]]+=f[i-1][j];
	printf("%d",f[n][7500]);
}

5.参考文献

https://www.cnblogs.com/lyy289065406/archive/2011/07/31/2122629.html