AcWing342. 道路与航线

原题链接

解题思路

这题用\(SPFA\)会被卡，所以我们不能用\(SPFA\)

但是观察数据我们可以发现对于道路,\(0≤C_i≤10^{5}\)

所以对于每个连通块（内部不存在航线），我们可以用\(Dijkstra\)算法进行求解，因为不存在负权边，而\(Dijkstra\)算法的时间较为稳定，所以对于连通块内部的最短路，我们采用\(Dijkstra\)

块内问题解决了，但是块间呢

保证如果有一条航线可以从\(A_i\) 到 \(B_i\)，那么保证不可能通过一些道路和航线从 \(B_i\) 回到 \(A_i\)。

我们将每个连通块看做一个大点

那么根据上述性质,我们可以得到这张由大点为点，航线为边的图是一张拓扑图\((DAG)\)

那么\(DAG\)的最短路我们可以按照它的拓扑序扫描求出最短路

为什么呢

因为我们利用拓扑序进行\(DP\)，那后来的节点一定是无法更新前面的节点，这样就可以确保无后效性，因此可以正确求出最短路

解题步骤

1.先输入所有的双向道路，然后用\(dfs\)求出所有的连通块，用\(id[]\)数组统计每个数所在的连通块编号，用一个\(vector\)<\(int\)> \(block[]\)来保存每个编号的连通块里存的点

2.输入所有的航线，再输入的同时可以统计每个连通块的入度

3.拓扑排序

4.按照拓扑序对每个连通块进行\(Dijkstra\)算法

5.\(Dijkstra\)步骤：

(1)每次从堆中取出一个点\(t\)

(2)遍历\(t\)的所有出边，同一个连通块的进行松弛操作，不同连通块的将对方连通块入度\(-1\)，如果\(-1\)后连通块的入度为0，插入拓扑序队列中（所以拓扑序的队列要开成全局的）

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 25010, M = 2e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N], id[N], st[N], din[N];
int n, mr, mp, S, bcnt;

vector<int> block[M];
queue<int> q;

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}

void dfs(int u, int bid)
{
    id[u] = bid, block[bid].push_back(u);

    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!id[j]) dfs(j, bid);
    }
}

void Dijkstra(int bid)
{
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<> > heap;

    for (auto u : block[bid])
        heap.push({dist[u], u});

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top().second; heap.pop();

        if (st[t]) continue ;
        st[t] = true ;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (id[j] == id[t]) heap.push({dist[j], j});
            }

            if (id[j] != id[t] && -- din[id[j]] == 0) q.push(id[j]);
        }
    }
}

void topsort()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[S] = 0;

    for (int i = 1; i <= bcnt; i ++ )
        if (!din[i]) q.push(i);

    while (q.size())
    {
        int t = q.front(); q.pop();
        Dijkstra(t);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &mr, &mp, &S);

    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(st, 0, sizeof st);

    while (mr -- )
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w), add(v, u, w);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!id[i]) dfs(i, ++ bcnt);

    while (mp -- )
    {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        add(u, v, w), din[id[v]] ++ ;
    }

    topsort();

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (dist[i] > INF / 2) puts("NO PATH");
        else printf("%d\n", dist[i]);

    return 0;
}