筛 sigma_k

问题

定义 \(\sigma_k(n)\) 表示 \(n\) 的所有约数的 \(k\) 次方和，即

\[\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k
\]

问题：求 \(\sigma_k(1),\sigma_k(2),\cdots,\sigma_k(n)\) .

线性筛

• 素数：直接 \(k\) 次方 .
• 没有的素因子：乘 \(k\) 次方 .
• 素因子：除掉再 \(k\) 次方 .

看不懂可以看 BZOJ2813 题解 .

杜教筛

令 \(\operatorname{Id}_k(n)=n^k\)，则由定义：

\[\mu*1=\mathrm{Id}_k
\]

\[\sigma_k=1*\mathrm{Id}_k
\]

于是

\[\mu*\sigma_k=\mathrm{Id}_k
\]

杜教筛即可 .

或者 Powerful Number 筛，但是我不会 .

复杂度不会算 .