luogu P2617 Dynamic Rankings（主席树）

嘟嘟嘟




一句话题意：带修改区间第\(k\)小。




不修改都会，主席树板子。但是有修改就要比较深入的理解主席树了。

众所周知，主席树中以\(i\)为根的线段树维护的是\([1, i]\)这个前缀的权值，因此若修改一个点\(a[x]\)，必须把\([x, n]\)的线段树全修改了，单次修改复杂度为\(O(n \log{n})\)，显然承受不起。




通过上面的分析，我们发现前缀和是不能修改的，因此对于每一棵线段树，我们应该去维护别的数据结构，且这个数据结构支持单点修改，区间询问。

没错，到这谁都能猜出来了：树状数组。也就是说，对于以\(i\)为根的线段树，他维护的是\([i, i + lowbit(i))\)这个区间的权值。

这样修改的复杂度就降低了不少：每一次只修改从\(x\)往后跳\(lowbit\)直到\(n\)的这些线段树，最多有\(\log{n}\)棵，因此单次修改复杂度为\(O(\log ^ 2{n})\)。

对于询问。原来的主席树是前缀和相减。因此这里也一样：我们先不断往前跳\(lowbit\)，找到\(L - 1\)和\(R\)的前缀和，然后在递归的每一层都用\(O(\log{n})\)的时间去求当前左子树的和，然后和\(k\)比较，决定进入哪一棵子树。




别忘了空间复杂度也是\(O(n \log ^ 2{n})\)的，又因为我的线段树的值域是\(1e9\)，所以得开到\(3e7\)才行。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int maxt = 3e7 + 5;
const int Max = 1e9;
inline ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
inline void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

int n, m, a[maxn];
char tp[2];
int root[maxn], ls[maxt], rs[maxt], c[maxt], cnt = 0;

int lowbit(int x)
{
  return x & -x;
}

void update(int& now, int l, int r, int id, int d)
{
  if(!now) now = ++cnt;
  c[now] += d;
  if(l == r) return;
  int mid = (l + r) >> 1;
  if(id <= mid) update(ls[now], l, mid, id, d);
  else update(rs[now], mid + 1, r, id, d);
}

void change(int id, int d)
{
  for(int i = id; i <= n; i += lowbit(i)) update(root[i], 1, Max, a[id], -1);
  a[id] = d;
  for(int i = id; i <= n; i += lowbit(i)) update(root[i], 1, Max, a[id], 1);
}

int t1[35], t2[35], cnt1 = 0, cnt2 = 0;
int query(int l, int r, int k)
{
  if(l == r) return l;
  int sum = 0, mid = (l + r) >> 1;
  for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) sum -= c[ls[t1[i]]];
  for(int i = 1; i <= cnt2; ++i) sum += c[ls[t2[i]]];
  if(k <= sum)
    {
      for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) t1[i] = ls[t1[i]];
      for(int i = 1; i <= cnt2; ++i) t2[i] = ls[t2[i]];
      return query(l, mid, k);
    }
  else
    {
      for(int i = 1; i <= cnt1; ++i) t1[i] = rs[t1[i]];
      for(int i = 1; i <= cnt2; ++i) t2[i] = rs[t2[i]];
      return query(mid + 1, r, k - sum);
    }
}

int main()
{
  n = read(); m = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
      a[i] = read();
      for(int j = i; j <= n; j += lowbit(j)) update(root[j], 1, Max, a[i], 1);
    }
  for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
      scanf("%s", tp);
      if(tp[0] == 'C')
	{
	  int x = read(), d = read();
	  change(x, d);
	}
      else
	{
	  int L = read(), R = read(), k = read();
	  cnt1 = cnt2 = 0;
	  for(int j = L - 1; j; j -= lowbit(j)) t1[++cnt1] = root[j];
	  for(int j = R; j; j -= lowbit(j)) t2[++cnt2] = root[j];
	  write(query(1, Max, k)), enter;
	}
    }
}