[WC 2018]州区划分

Description

小 $S$ 现在拥有 $n$ 座城市，第 $i$ 座城市的人口为 $w_i$ ，城市与城市之间可能有双向道路相连。

现在小 $S$ 要将这 $n$ 座城市划分成若干个州，每个州由至少一个城市组成，每个城市在恰好一个州内。

假设小 $S$ 将这些城市划分成了 $k$ 个州，设 $V_i$ 是第 $i$ 个州包含的所有城市组成的集合。定义一条道路是一个州的内部道路，当且仅当这条道路的两个端点城市都在这个州内。如果一个州内部存在一条起点终点相同，不经过任何不属于这个州的城市，且经过这个州的每个城市至少一次、所有内部道路都恰好一次的路径（路径长度可以为 $0$ ），则称这个州是不合法的。

定义第 $i$ 个州的满意度为：第 $i$ 个州的人口在前 $i$ 个州的人口中所占比例的 $p$ 次幂，即：

\[\left (\frac{\sum_{x \in V_i}{w_x}}{\sum_{j=1}^{i}\sum_{x \in V_j}{w_x}}\right )^p\]

定义一个划分的满意度为所有州的满意度的乘积，求所有合法的划分方案的满意度之和，答案对 $998244353$ 取模。

两个划分 $\{V_1\cdots V_k\}$ 和 $\{C_1\cdots C_s\}$ 是不同的，当且仅当 $k\neq s$ ，或存在某个 $1\leq i\leq k$ ，使得 $Vi\neq Ci$ 。

$0\leq n\leq 21,0\leq m\leq \frac{n\times (n-1)}{2},0\leq p\leq 2,1\leq w_i\leq 100$

Solution

我们记 $f_S$ 为选点情况为 $S$ 时，划分成若干非空集合所得到的所有贡献。

容易得到转移方程：

\[f_S=\frac{1}{sum_S^p}\sum_{X\subset S} f(X)sum_{S-X}^P\]

其中 $sum_S$ 表示点集 $S$ 中所有点的权值和。

那么套路地用子集卷积搞一下就好了。注意要预处理出满足条件的集合。

安利我博客：子集卷积

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

const int N = 21+5, SIZE = (1<<21)+5, yzh = 998244353;

int n, m, p, u, v, w[N], mp[N][N], bin[N];

int f[N][SIZE], g[N][SIZE], ok[SIZE], sum[SIZE], inv[SIZE], cnt[SIZE];

int fa[N], deg[N];

int find(int o) {return fa[o] ? fa[o] = find(fa[o]) : o; }

int quick_pow(int a, int b) {

    int ans = 1;

    while (b) {

        if (b&1) ans = 1ll*ans*a%yzh;

        b >>= 1, a = 1ll*a*a%yzh;

    }

    return ans;

}

void FMT(int *A, int o) {

    for (int i = 1; i < bin[n]; i <<= 1)

        for (int j = 0; j < bin[n]; j++)

            if (i&j) (A[j] += A[i^j]*o) %= yzh;

}

bool judge(int S) {

    for (int i = 1; i <= n; i++) if (bin[i-1]&S) sum[S] += w[i], ++cnt[S], fa[i] = deg[i] = 0;

    int b = cnt[S];

    for (int i = 1; i <= n; i++) if (S&bin[i-1])

        for (int j = i+1; j <= n; j++) if ((S&bin[j-1]) && mp[i][j]) {

            ++deg[i], ++deg[j];

            if (find(i)^find(j)) fa[find(i)] = find(j), --b;

        }

    if (b > 1) return true;

    for (int i = 1; i <= n; i++) if ((S&bin[i-1]) && (deg[i]&1)) return true;

    return false;

}

void work() {

    scanf("%d%d%d", &n, &m, &p); bin[0] = 1;

    for (int i = 1; i <= 25; i++) bin[i] = bin[i-1]<<1;

    for (int i = 1; i <= m; i++) {

        scanf("%d%d", &u, &v); mp[u][v] = mp[v][u] = 1;

    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);

    for (int i = 0; i < bin[n]; i++) ok[i] = judge(i);

    for (int i = 0; i < bin[n]; i++) {

        sum[i] = quick_pow(sum[i], p);

        inv[i] = quick_pow(sum[i], yzh-2);

        if (ok[i]) g[cnt[i]][i] = sum[i];

    }

    for (int i = 0; i <= n; i++) FMT(g[i], 1);

    f[0][0] = 1; FMT(f[0], 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {

        for (int j = 0; j < i; j++)

            for (int k = 0; k < bin[n]; k++)

                (f[i][k] += 1ll*f[j][k]*g[i-j][k]%yzh) %= yzh;

        FMT(f[i], -1);

        for (int k = 0; k < bin[n]; k++) f[i][k] = 1ll*f[i][k]*inv[k]%yzh;

        for (int k = 0; k < bin[n]; k++) if (cnt[k] != i) f[i][k] = 0;

        if (i != n) FMT(f[i], 1);

    }

    printf("%d\n", (f[n][bin[n]-1]+yzh)%yzh);

}

int main() {work(); return 0; }