hdu 5852 ：Intersection is not allowed! 行列式

有K个棋子在一个大小为N×N的棋盘。一开始，它们都在棋盘的顶端，它们起始的位置是 (1,a1),(1,a2),...,(1,ak) ，它们的目的地是 (n,b1),(n,b2),...,(n,bk)。

一个位于 (r,c) 的棋子每一步只能向右走到 (r,c+1) 或者向下走到 (r+1,c) 。

我们把 i 棋子从 (1,ai) 走到 (n,bi) 的路径记作 pi 。

你的任务是计算有多少种方案把n个棋子送到目的地，并且对于任意两个不同的棋子 i,j ，使得路径 pi 与 pj 不相交（即没有公共点）。

容斥原理。

假设只有两个点，那么答案就是它们以任意路径到达终点的方案数减去相交的方案。

比如 a1->b1 ,a2->b2 ，那它们相交的方案就是 a1->b2,a2->b1的所有方案。

因为在最后一个交点下把两条路径换一下它们是一一对应的。

扩展到多个点时有$n!$种向下对应对应的方案，每个方案的容斥系数是$-1^{逆序对个数}$。

实际上这东西就是矩阵的行列式。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define ll long long
 #define N 105
 using namespace std;
 int n,k;
 const int inf = ;
 const int p = ;
 int jie[],ni[];
 void yu()
 {
     jie[]=ni[]=ni[]=;
     for(int i=;i<=inf;i++)jie[i]=1LL*i*jie[i-]%p;
     for(int i=;i<=inf;i++)ni[i]=(1LL*(-p/i)*ni[p%i]%p+p)%p;
     for(int i=;i<=inf;i++)ni[i]=1LL*ni[i-]*ni[i]%p;
 }
 int pw(ll x,int y)
 {
     ll lst=;
     while(y)
     {
         if(y&)lst=lst*x%p;
         y>>=;
         x=1LL*x*x%p;
     }
     return (int)lst;
 }
 int c(int n,int m)
 {
     return 1LL*jie[n]*ni[m]%p*ni[n-m]%p;
 }
 int st[N],ed[N];
 ll a[N][N];
 void guess()
 {
     ll ans=;
     for(int i=;i<=k;i++)
     {
         for(int j=i;j<=k;j++)
         {
             if(a[j][i])
             {
                 if(j!=i)ans*=-;
                 for(int l=;l<=k;l++)swap(a[i][l],a[j][l]);
                 break;
             }
         }
         ll tp=pw(a[i][i],p-);
         for(int j=i+;j<=k;j++)
         {
             if(a[j][i])
             {
                 ll tmp=p-tp*a[j][i]%p;
                 for(int l=i;l<=k;l++)
                 {
                     a[j][l]=(a[j][l]+tmp*a[i][l]%p)%p;
                 }
             }
         }
     }
     if(ans==-)ans=p-;
     for(int i=;i<=k;i++)ans=ans*a[i][i]%p;
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }
 int main()
 {
     yu();
     scanf("%d%d",&n,&k);
     for(int i=;i<=k;i++)scanf("%d",&st[i]);
     for(int i=;i<=k;i++)scanf("%d",&ed[i]);
     for(int i=;i<=k;i++)
     {
         for(int j=;j<=k;j++)
         {
             if(ed[j]>=st[i])a[i][j]=c(n-+abs(ed[j]-st[i]),n-);
         }
     }
     guess();
     return ;
 }