AT3950 [AGC022E] Median Replace

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Description

有一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 串，里面有一些还没有确定，我们标记为 ? 。可以进行若干次操作，每次操作可以把三个相邻的数替换成它们的中位数。问有多少种把 ？ 填为 0/1的方法使得该 \(01\) 串最后能变为 \(1\) 。

Solution

我们先考虑如何判断一个 \(01\) 串是否合法。

可以想到的是，我们的 \(000\) 一定要先删掉。然后考虑 \(01,10\) ，因为如果出现这两个，那么无论再有 \(0,1\) 都由新加入的值决定，所以可以直接删去。最后考虑 \(111\)。

我们如果用栈来处理。就是：

1. 如果当前值为 \(1\)

如果栈顶为 \(0\)，则删去栈顶。如果栈顶为 \(1\) 且栈顶下一个不是 \(1\)，就加入，否则不管

1. 如果当前值为 \(0\)

如果栈顶有两个 \(0\) 就直接删掉一个栈顶，否则就直接加入。至于不管栈顶为 \(1\) 的情况是因为我们需要先处理 \(000\) 而不是 \(10,01\)。

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于是我们就可以考虑用 dp 解决这个问题。我们设 \(f_{i,j,k}\) 表示前面 \(i\) 个数，栈有 \(j\) 个 \(1\)，\(k\) 个 \(0\)。可以看出的是我们栈的形态从栈底到栈顶一定是一段 \(1\) 加上一段 \(0\)。因为如果有 \(01\) 的存在就一定会直接删掉。而且，\(0,1\) 的个数都不会超过 \(2\)，因为超过就会被删掉或者没有意义了。转移按上面的方法转移即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Int register int
#define MAXN 300005

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}
template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}
template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

char s[MAXN];
int n,f[MAXN][4][4];

#define mod 1000000007
int add (int &a,int b){return a = a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;}

signed main(){
	scanf ("%s",s + 1),n = strlen (s + 1),f[0][0][0] = 1;
	for (Int i = 0;i < n;++ i){
		for (Int j = 0;j < 3;++ j)
			for (Int k = 0;k < 3;++ k){
				if (s[i + 1] != '0'){
					if (k) add (f[i + 1][j][k - 1],f[i][j][k]);
					else add (f[i + 1][min (j + 1,2)][k],f[i][j][k]);
				}
				if (s[i + 1] != '1'){
					if (k == 2) add (f[i + 1][j][1],f[i][j][k]);
					else add (f[i + 1][j][k + 1],f[i][j][k]);
				}
			}
	}
	int ans = 0;
	for (Int i = 0;i < 3;++ i)
		for (Int j = 0;j <= i;++ j)
			add (ans,f[n][i][j]);
	write (ans),putchar ('\n');
 	return 0;
}