[数学]高数部分-Part VI 重积分

Part VI 重积分

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  • 二重积分的普通对称性
  • 二重积分的轮换对称性（直角坐标系下）
  • 二重积分直角坐标系下的积分方法
  • 二重积分极坐标系下的积分方法
  • 二重积分中值定理

二重积分的普通对称性

1. \(设D关于y轴对称，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(-x,y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(-x,y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)
2. \(设D关于x轴对称，\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，若f(x,-y)=f(x,y), 偶\\ 0，若f(x,-y)=-f(x,y)，奇 \end{cases}\)

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二重积分的轮换对称性（直角坐标系下）

轮换对称性：

\(若将D中的x与y对调，可推出D不变，则：\iint_{D} f(x,y)dxdy=\iint_{D} f(y,x)dxdy，此即为轮换对称性\)

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二重积分直角坐标系下的积分方法

\(\iint_{D} f(x,y)d\sigma = \iint_{D} f(x,y)dxdy\)

1. \(X型区域（上下型）\int_a^bdx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy\)
   
   后积先定限，限内画条线，先交下曲线，后交上曲线
2. \(Y型区域（左右型）\int_c^ddy\int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx\)

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二重积分极坐标系下的积分方法

\(d\sigma=d\theta\cdot rdr \Rightarrow \iint_Df(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(rcos{\theta},rsin{\theta})rdr\)

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二重积分中值定理

\(f(x,y)在有界闭区域D上连续，\sigma_{0}是D的面积，则在D内至少存在一点(\xi,\mu)，使得\iint_{D} f(x,y)d\sigma = f(\xi,\mu)\sigma_{0}\)

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