「Codeforces 468C」Hack it!

Description

定义 \(f(x)\) 表示 \(x\) 的各个数位之和。现在要求 \(\sum_{i=l}^rf(i)\bmod a\)。

显然 ans=solve(l,r)%a; if(ans<=0) ans+=a; 会在 \(\sum_{i=l}^rf(i)\equiv 0\pmod a\) 时输出错误。给定 \(a\)，请你构造一个 Hack 数据。

\(1\leq a\leq 10^{18}\)，构造出的 \(l,r\) 需满足 \(1\leq l\leq r\leq 10^{200}\)，同时 \(\sum_{i=l}^rf(i)\bmod a=0\)。

Solution

定义 \(g(x)=\sum_{i=1}^xf(i)\)，则 \(\sum_{i=l}^rf(i)=g(r)-g(l-1)\)。

首先可以发现，对于 \(1\leq x<10^{18}\)，有：

\(\displaystyle f(x+10^{18})-f(x)=1\)

也就是说，当 \([l,r]\) 从 \([x+1,x+10^{18}]\) 变成 \([x+2,x+10^{18}+1]\) 时（整体增大 \(1\)），由于 \(f(x+10^{18}+1)-f(x+1)=1\)，因此结果会增加 \(1\)。

那么，当 \([l,r]\) 从 \([1,10^{18}]\) 变成 \([x+1,x+10^{18}]\) 时（整体增大 \(x\)），结果会增加 \(x\)。即：

\(\displaystyle \sum_{i=k+1}^{k+10^{18}}\equiv g(10^{18})+k\pmod a\)

若 \(g(10^{18})\equiv x\pmod a\)，取 \(k=a-x\)，那么：

\(\displaystyle \sum_{i=a-x+1}^{a-x+10^{18}}\equiv 0\pmod a\)

则可取 \([l,r]\) 为 \([a-x+1,a-x+10^{18}]\)。考虑如何求出 \(x\)。

不难发现，\(g(10^x)=45\times x\times 10^{x-1}+1\)。所以 \(g(10^{18})=45\times 18\times 10^{17}+1\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int a,x;
signed main(){
    scanf("%lld",&a),x=1ull*((int)1e17%a*45%a*18%a+1)%a;
    printf("%lld %lld\n",a-x+1,a-x+(int)1e18);
    return 0;
}