《算法导论》习题2.3-7 查找集合S中是否有两个元素和为X---Java实现

代码如下：

 public class MergeSort {

     public static void sort(int [] A,int p, int r)
     {
         if(p<r)
         {
             int q = (int) Math.floor( (p+r)/2 );
             sort(A,p,q);
             sort(A,q+1,r);
             merge(A,p,q,r);
         }
         return ;

     }
     public static void merge(int [] A, int p, int q, int r)
     {
         int n1 = q-p+1;
         int n2 = r-q;
         int [] L = new int[n1];
         int [] R = new int[n2];
         for(int i=0; i<n1; i++)
           L[i] = A[p+i];
         for(int i=0; i<n2;i++)
             R[i]=A[q+i+1];

         int i=0;
         int j=0;
         int counter = p;
         while(i<L.length && j<R.length)
         {
             if(L[i]<=R[j])
             {
                 A[counter]=L[i];
                 i++;
             }
             else
             {
                 A[counter]=R[j];
                 j++;
             }
             counter++;
         }
         if(i==L.length)
         {
             for(int k=j;k<R.length;k++)
                 A[counter++] = R[k];
         }
         else
         {
             for(int k=i;k<L.length;k++)
                 A[counter++] = L[k];
         }
     }
 }

 public class SumTwoEqual {

     /**
      * @param args
      */
     public static boolean TestExists(int A[],int X)
     {
         MergeSort.sort(A, 0, A.length - 1 );
         int i = 0;
         int j = A.length-1;
         while(i<j)
         {
             if(A[i]+A[j]==X)
                 return true;
             else if(A[i]+A[j] > X)
                 j--;
             else
                 i++;
         }
         return false;
     }

     public static void main(String[] args) {
         int A[] = {1,2,5,7,9,14,25,35,13,15};
         boolean a = TestExists(A,22);
         System.out.println(a);
     }
 }

算法思想很简单，就是先排序，然后从两边往中间找。除了上述的解法，还有一种方法是先排序，然后遍历所有元素a，二分查找X-a。虽然写出了上述的算法，但是说明算法的正确性是个很难的问题。下面我给出一个大致的思路，但是不是很严谨。

我们首先假设所有的元素已经从小到大排序好了，放在数组A[1...n]中，要查询的元素是X。1、如果A中没有任何两个元素的和是X，那么程序一定会返回false,这是很显然的。2、所以，问题的关键在于证明：如果A中有两个元素a，b，使得a+b==X（不妨设a<=b），那么程序会保证返回true。3、而为了证明2，则只需要证明：每一轮迭代开始之前，A[i...j]中一定包含a和b，而A[0...i-1] υ A[j+1...n]一定不包含a和b。为什么证明了3，就能证明2呢？那是因为每一次迭代A[i...j]长度都会减一（要么i+1，要么j-1），而只要a和b还在A[i...j]中，最终一定会在某一次迭代中发现A[i]==a,A[j]==b，从而程序返回true。最坏的情况是，迭代一直进行到i+1==j的时候，此时A[i]一定是a，A[j]一定是b。

下面归纳地证明3,即证明：每一轮迭代开始之前，A[i...j]中都包含a和b，而A[0...i-1] υ A[j+1...n]都不包含a和b。令ik,jk表示第k轮迭代开始之前，i和j的取值。1、第 1 轮迭代开始之前，A[i1...j1]也就是A[0...n],a和b当然包含在其中，A[0...-1] υ A[n+1...n]是空集，当然不包含a和b。结论成立。2、假设第 K 轮迭代开始之前，A[ik...jk]中包含a和b，而A[0...ik-1] υ A[jk+1...n]不包含a和b。   那么如果A[ik]+A[jk]==X，那么程序就返回true了。第 K+1 轮迭代不会发生。结论成立。   如果A[ik]+A[jk]>X，按照程序，jk会减1，那么第K+1轮开始之前，ik+1==ik，jk+1==jk-1。下面用反证法证明A[jk]不可能是b（A[jk]当然不可能是a）。因为如果A[jk]是b，那么   X<A[ik]+b<A[ik+1]+b<A[ik+2]+b<...<A[jk-1]+b,那么a就不可能是A[ik...jk-1]中的任何一个元素，这和初始假设A[i...j]中包含a和b矛盾。所以A[jk]不可能是b。所以a和b仍然包含在A[ik+1...jk+1]中。   如果A[i]+A[j]<X,那么A[i]不可能是a（因为b>=a,所以A[i]当然不可能是b）。因为如果A[i]是a，那么   a+A[i+1]<a+A[i+1]<a+A[i+2]<...<a+A[j]<X，那么b就不可能是A[i+1...j]中的任何一个元素，这和初始假设A[i...j]中包含a和b矛盾。   所以，如果A[i]+A[j]>X,按照程序，j会减1，也就是在在第K+1轮迭代开始之前，数据是A[i...j-1]，因为A[j]不可能是b，所以A[i...j-1]中仍然包含a和b   如果A[i]+A[j]<X，i会加1，也就是在第K+1轮迭代开始之前，数据是A[i+1...j]，因为A[i]不可能是a，所以A[i+1...j]仍然包含a和b。3、由1和2可知，在每一轮迭代开始之前，A[i...j]中一定包含a和b，而A[0...i-1] υ A[j+1,n]一定不包含a和b。

证明好困难！