「NOIP2005」「Codevs1106」篝火晚会

题目描述 Description

佳佳刚进高中，在军训的时候，由于佳佳吃苦耐劳，很快得到了教官的赏识，成为了“小教官”。在军训结束的那天晚上，佳佳被命令组织同学们进行篝火晚会。一共有n个同学，编号从1到n。一开始，同学们按照1，2，……，n的顺序坐成一圈，而实际上每个人都有两个最希望相邻的同学。如何下命令调整同学的次序，形成新的一个圈，使之符合同学们的意愿，成为摆在佳佳面前的一大难题。
佳佳可向同学们下达命令，每一个命令的形式如下：
(b1,b2,...bm-1,bm)
这里m的值是由佳佳决定的，每次命令m的值都可以不同。这个命令的作用是移动编号是b1，b2，…… bm –1，bm的这m个同学的位置。要求b1换到b2的位置上，b2换到b3的位置上，……，要求bm换到b1的位置上。
执行每个命令都需要一些代价。我们假定如果一个命令要移动m个人的位置，那么这个命令的代价就是m。我们需要佳佳用最少的总代价实现同学们的意愿，你能帮助佳佳吗？

输入描述
Input Description

输入第一行是一个整数n（3<=n<=50000），表示一共有n个同学。其后n行每行包括两个不同的正整数，以一个空格隔开，分别表示编号是1的同学最希望相邻的两个同学的编号，编号是2的同学最希望相邻的两个同学的编号，……，编号是n的同学最希望相邻的两个同学的编号。

输出描述
Output Description

这一行只包含一个整数，为最小的总代价。如果无论怎么调整都不能符合每个同学的愿望，则输出-1。

样例输入
Sample Input

3 4

4 3

1 2

样例输出
Sample Output

数据范围及提示
Data Size & Hint

【数据规模】

对于30%的数据，n<=1000；

对于全部的数据，n<=50000。

题解

大概是我太弱了吧，每篇题解都一头懵哔emmm

首先这道题题面可以说很难懂了

有n个同学，初始时从1～n坐成一圈。每个同学有两个最想坐在边上的同学。

问能否通过交换部分人的座位满足所有人的需求。若能满足，求交换的最小代价。

其中交换的定义：对于某一次交换，让同学a坐到上次交换结束后b坐的位置上，b坐到上次交换结束后c的位置上......让被涉及到的最后一位同学坐到上次结束后a坐的位置上。

代价的定义：对于每次交换，这次的代价为被涉及到的同学数，总代价为每次交换的代价之和。

首先我们拆环成链。

然后我们可以反过来想：给定一个序列，求交换成1～n的序列的最小代价。

可以想到，其实只需要一次交换就可以解决问题：

设同学a的编号为ca，则把a同学放到ca座位;

然后把之前坐在ca号座位上的同学（设为b）赶到cb座位......

这样每个坐错位置的人，都只会挪一次位置。

所以这种拆链方案的代价=坐错位置的同学数

这样就可以用n方的时间解决问题啦！（撒花

在n方的解法中，我们枚举了断点。对于每个断点，用O(n)的时间再扫一遍。

会炸。

想像两个手链，一个手链从1写到n，另一个手链乱序。

枚举断点，实际上只是把乱序手链的某个珠子对准1号珠拿好，然后把每个珠子看一遍，数不同的珠子数;再把乱序手链的下一个珠子对准1号珠......

如果有一些珠子，它们在第一次数珠子的时候离目标位还有x个珠子，那么下一次离目标就会还有x-1格......

那么它们要么同时对上，要么同时对不上。

于是问题转化成了：

随便拆一下，求此时的 max(dis[])，也就是一次最多对上的珠子数。

答案就是n=max(dis[])的值，也就是最少有多少对不上。

（撒花～

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<iostream>

using namespace std;

int f[][]，a[]，dis[]，b[];

bool used[];

int maxd=;

void make(int pos,int x){

    maxd=max(pos,maxd);//记录一下排座位到哪了

    a[pos]=x;used[x]=;

    if(!used[f[x][]]){make(pos+,f[x][]);}

    else if(!used[f[x][]]){make(pos+,f[x][]);}

    return;

}

int main(){

    int n;

    scanf("%d",&n);

    //造乱序链

    //造链的方法很多啦，随便哪种都可以

    for(int i=;i<=n;++i){

        int x,y;

        scanf("%d%d",&x,&y);

        if(f[x][]){//如果x的0号朋友位满了

            if(f[x][]){cout<<-;return ;}//如果x已经有了两个朋友

            f[x][]=i;

        }

        else f[x][]=i;

        if(f[y][]){

            if(f[y][]){cout<<-;return ;}

            f[y][]=i;

        }

        else f[y][]=i;

    }

    make(,);//在1号位放1号同学，然后往下递归

    if(maxd!=n){cout<<-;return ;}//如果造不出长为n的链，那不可能只坐一个圈

    //

    for(int i=;i<=n;++i)

    dis[(a[i]-i+n)%n]++;

    int ans=;

    for(int i=;i<n;++i)

    ans=max(ans,dis[i]);

    //然后还要像硬币翻面一样翻一下乱序手链

    b[]=a[];

    for(int i=;i<=n;++i)

    b[i]=a[n+-i];

    //翻了之后再跑一次

    memset(dis,,sizeof(dis));

    for(int i=;i<=n;++i)

    dis[(b[i]-i+n)%n]++;

    for(int i=;i<n;++i)

    ans=max(ans,dis[i]);

    //

    cout<<n-ans;

    return ;

}

关于翻面：

如果乱序链为 1 4 3 2 ，对比 1 2 3 4需要代价2

但是如果翻一下就不需要代价了，因为读入中只要坐在一起，但我们强行加了他们坐左边还是右边的要求，所以要反过来再跑一遍。