李雅普诺夫函数 LyapunovFunction 李雅普诺夫意义下的稳定性

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李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是用来证明一动力系统或自治微分方程稳定性的函数。其名称来自俄罗斯数学家亚历山大·李亚普诺夫（Александр Михайлович Ляпунов）。李亚普诺夫函数在稳定性理论及控制理论中相当重要。

若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李亚普诺夫候选函数（Lyapunov-candidate-function）。不过目前还找不到一般性的方式可建构（或找到）一个系统的李亚普诺夫候选函数，而找不到李亚普诺夫函数也不代表此系统不稳定。在动态系统中，有时会利用守恒律来建构李亚普诺夫候选函数。

针对自治系统的李亚普诺夫定理，直接使用李亚普诺夫候选函数的特性。在寻找一个系统平衡点附近的稳定性时，此定理是很有效的工具。不过此定理只是一个证明平衡点稳定性的充分条件，不是必要条件。而寻找李亚普诺夫函数也需要碰运气，通常会用试误法（trial and error）来寻找李亚普诺夫函数。

Lyapunov Function -- from Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/LyapunovFunction.html

稳定性问题的实质是考察系统由初始状态扰动引起的受扰运动能否趋近或返回到原平衡状态。

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李雅普诺夫意义下的稳定性

指对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。主要涉及稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定和不稳定。
　　①稳定　用S(ε)表示状态空间中以原点为球心以ε为半径的一个球域，S(δ)表示另一个半径为δ的球域。如果对于任意选定的每一个域S(ε),必然存在相应的一个域S(δ)，其中δ0,都存在实数δ(ε，t0)，满足不等式ε>δ(ε，t0)>0，它使从满足不等式的任一初态x0出发的运动对于t≥t0满足不等式
　　则称状态空间的原点xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的。其中，δ的大小不仅与给定的ε值有关，而且也与初始时刻t0有关。当定义中δ值的选取和初始时刻t0无关时，称xe=0是一致稳定的。对定常系统,稳定等同于一致稳定。
　　②渐近稳定　如果原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的,而且在时间t趋于无穷大时受扰运动φ(t；x0，t0)收敛到平衡状态xe=0,则称系统平衡状态是渐近稳定的。从实用观点看，渐近稳定比稳定重要。在应用中，确定渐近稳定性的最大范围是十分必要的，它能决定受扰运动为渐近稳定前提下初始扰动x0的最大允许范围。
　　③大范围渐近稳定　又称全局渐近稳定，是指当状态空间中的一切非零点取为初始扰动x0时，受扰运动φ(t；x0，t0)都为渐近稳定的一种情况。在控制工程中总是希望系统具有大范围渐近稳定的特性。系统为全局渐近稳定的必要条件是它在状态空间中只有一个平衡状态。
　　④不稳定　如果存在一个选定的球域S(ε)，不管把域S(δ)的半径取得多么小，在S(δ)内总存在至少一个点x0，使由这一状态出发的受扰运动轨线脱离域S(ε),则称系统原点平衡状态xe=0是不稳定的。
　　当状态空间为二维平面时，系统平衡状态xe的稳定、渐近稳定、不稳定的含义，可用图表示。　李雅普诺夫函数 　李雅普诺夫第二方法是在推广振动系统稳定性基础上建立的。根据力学原理，如果一个振动系统的总能量随时间连续减小，直到平衡状态为止，那么振动系统就是稳定的。李雅普诺夫把这一原理推广到可用状态方程描述的一般系统，并且引入一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数。李雅普诺夫函数具有能量函数的基本特征，也是和系统运动有关的一个标量函数，但其含义比能量更为一般，常用V(x，t)来表示。当李雅普诺夫函数仅与状态有关而与时间t无直接关系时，可用V(x)表示。在李雅普诺夫第二方法中，通过对V(x，t)及其导数的符号特征的分析,可判断平衡状态为稳定、渐近稳定或不稳定。这样做比通过求状态方程的解来判断容易得多。对于简单非线性系统，李雅普诺夫函数常可取为x的一个二次型函数V(x)=xTQx，其中xT为x的转置，Q为正定对称矩阵。不过，对于复杂的系统，寻找李雅普诺夫函数可能十分困难。