[ NOIP 1998 ] TG

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\(\#A\) 车站

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火车从第\(1\)站开出，上车的人数为\(a\)，然后到达第\(2\)站，在第\(2\)站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第\(2\)站开出时（即在到达第\(3\)站之前）车上的人数保持为\(a\)人。从第\(3\)站起（包括第\(3\)站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到第\(n-1\)站，都满足此规律。

共有\(N\)个车站，始发站上车的人数为\(a\)，最后一站下车的人数是\(m\)（全部下车），问\(x\)站开出时车上的人数。

• \(a,n,x\in [1,20]\)，\(m\in [1,2000]\)

• 令\(fib_i\)表示第\(i\)项斐波那契数的值（从第一项开始），推推式子发现：
  • 第一站和第三站上车\(a\)人
  • 第二站增加\(0\)人，设上车\(b\)人
  • 第四站增加\(b\)人
  • \(5\text~n-1\)站中，第\(i\)站人数增量为\(fib_{i-4}-fib_{i-3}\)
• 暴力累加到第\(n-1\)项，回代求出\(b\)，在退回到第\(x\)次即可。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 30
#define R register
using namespace std;

int a,n,m,x;
int ax=2,ay,ansx,ansy,fib[N]={0,1,1};

int main(){
  scanf("%d%d%d%d",&a,&n,&m,&x);
  if(x<=2){printf("%d\n",a);return 0;}
  if(x==3){printf("%d\n",2*a);return 0;}
  for(R int i=3;i<N;++i) fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
  for(R int i=4;i<n;++i){
    ax+=fib[i-4]; ay+=fib[i-3];
    if(i==x) ansx=ax,ansy=ay;
  }
  m-=ax*a; m/=ay;
  printf("%d\n",ansx*a+ansy*m);
  return 0;
}

\(\\\)

\(\#B\) 拼数

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设有\(N\)个正整数，将它们联接成一排，组成一个最大的多位整数。

• \(N\in [0,20]\)

• 按字典序排序所有串即可，巧妙地实现方式可以通过字符串相加比较大小。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
string s[50];
bool cmp(string a,string b){
	return a+b>b+a;
}
int main(){
	int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>s[i];
    sort(s+1,s+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<s[i];
    printf("\n");
    return 0;
}

\(\\\)

\(\# C\) 进制位

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给出了如下的一张\(N\times N\)的加法表，表中的字母代表数字。 例如：

+    L    K    V    E
L    L    K    V    E
K    K    V    E    KL
V    V    E    KL    KK
E    E    KL    KK     KV

试求出每一个字母所代表数字及运算的进制。

• \(N\in [0,9]\)

• \(9!=362880\)，并不会超时，所以直接通过搜索枚举每一个字母所代表数字，最后暴力验证即可。
• 如果该表合法，则进制位必然为\(N-1\)进制，因为进位必定会产生\(1\)，而\(1\)必定会累加出其他的数。
• 验证时注意进位不能在十进制下进位，需要模拟\(N-1\)进制的进位过程。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 30
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;

char s[N][N][N];

bool vis[N],use[N];

int n,m,q[N],trs[N],len[N][N];

inline bool check(){
  for(R int i=1;i<n;++i)
    for(R int j=1;j<n;++j){
      int x=0,y=0,z=0;
      for(R int k=0;k<len[0][j];++k) x=x*10+trs[s[0][j][k]-'A'+1];
      for(R int k=0;k<len[i][0];++k) y=y*10+trs[s[i][0][k]-'A'+1];
      while(x||y){
        z=z*10+(x%10+y%10)%(n-1);
        z+=((x%10+y%10)>=n-1)?10:0;
        x/=10; y/=10;
      }
      x=z; z=0;
      for(R int k=0;k<len[i][j];++k) z=z*10+trs[s[i][j][k]-'A'+1];
      if(x!=z) return 0;
    }
  return 1;
}

inline bool dfs(int t){
  if(t==q[0]+1){
    if(check()){
      for(R int i=1;i<n;++i)
        printf("%c=%d ",s[0][i][0],trs[s[0][i][0]-'A'+1]);
      printf("\n%d\n",n-1); return 1;
    }
    return 0;
  }
  for(R int i=0;i<n-1;++i)
    if(!use[i]){
      use[i]=1; trs[q[t]]=i;
      if(dfs(t+1)) return 1;
      use[i]=0; trs[q[t]]=0;
    }
  return 0;
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(R int i=0;i<n;++i)
    for(R int j=0;j<n;++j){
      scanf("%s",s[i][j]);
      for(R int k=0;k<(int)strlen(s[i][j]);++k){
        if(!isalpha(s[i][j][k])){len[i][j]=k;break;}
        else vis[s[i][j][k]-'A'+1]=1;
      }
      if(!len[i][j]) len[i][j]=strlen(s[i][j]);
    }
  for(R int i=0;i<=27;++i) if(vis[i]) q[++q[0]]=i;
  if(!dfs(1)) puts("ERROR!");
  return 0;
}