[bzoj4899]记忆的轮廓题解(毒瘤概率dp)

题目背景

四次死亡轮回后，昴终于到达了贤者之塔，当代贤者夏乌拉一见到昴就上前抱住了昴“师傅！你终于回来了！你有着和师傅一样的魔女的余香，肯定是师傅”。
众所周知，大贤者是嫉妒魔女沙提拉的老公，400年前与神龙、剑圣一起封印魔女因子暴走的莎缇拉。在魔女茶会的时候，莎缇拉也表示过对昴浓浓的爱意，昴便是被莎缇拉召唤来异世界的。
而贤者之塔中的资料与试炼，似乎都指向同一种可能性……记忆的轮廓，逐渐显形……

题目描述

通往贤者之塔的路上，有许多的危机。
我们可以把这个地形看做是一颗树，根节点编号为1，目标节点编号为n，其中1-n的简单路径上，编号依次递增，在[1,n]中，一共有n个节点。
我们把编号在[1,n]的叫做正确节点，[n+1,m]的叫做错误节点。一个叶子，如果是正确节点则为正确叶子，否则称为错误叶子。
莎缇拉要帮助昴到达贤者之塔，因此现在面临着存档位置设定的问题。为了让昴成长为英雄，因此一共只有p次存档的机会，其中1和n必须存档。被莎缇拉设置为要存档的节点称为存档位置。
当然不能让昴陷入死循环，所以存档只能在正确节点上进行，而且同一个节点不能存多次档。因为通往贤者之塔的路上有影响的瘴气，因此莎缇拉假设昴每次位于树上一个节点时，都会等概率选择一个儿子走下去。每当走到一个错误叶子时，再走一步就会读档。
具体的，每次昴到达一个新的存档位置，存档点便会更新为这个位置（假如现在的存档点是i，现在走到了一个存档位置j>i，那么存档点便会更新为j）。读档的意思就是回到当前存档点。
初始昴位于1，当昴走到正确叶子n时，便结束了路程。莎缇拉想知道，最优情况下，昴结束路程的期望步数是多少？
输入格式

第一行一个正整数T表示数据组数。
接下来每组数据，首先读入三个正整数n,m,p。
接下来m-n行，描述树上所有的非正确边（正确边即连接两个正确节点的边），用两个正整数j，k表示j与k之间有一条连边，j和k可以均为错误节点，也可以一个为正确节点另一个为错误节点。数据保证j是k的父亲。
输出格式

T行每行一个实数表示每组数据的答案。请保留四位小数。

样例输入

1
3 7 2
1 4
2 5
3 6
3 7

样例输出

9.000

数据范围及约定

50%，n=p
70%，50<=p<=n<=500
100%，50<=p<=n<=700，m<=1500，T<=5
数据保证每个除了n的正确节点均有至少2个儿子，至多3个儿子。

戳这里膜拜出题人

要是考试的时候题面上有50%n=p就先写这个了

首先考虑n=p的做法：

设g[i]表示对于一个错误节点i，期望走多少步会读档

则$g[i]=\frac{1}{du[i]\cdot{\sum_{(j为i的儿子 )} { g[j]}}}+1$

另外预处理

$sum[i]=\sum{g[j]}$,j为i的错误儿子

那么对于正确节点i走到n的期望步数f[i],有

$f[i]=du[i]+f[i+1]+sum[i]$

之后是对于普遍情况，比较暴力的转移做法

设f[i,j]表示当前存档点为i，还剩j次存档机会。

我们需要预处理一个step[i,j]，表示存档点为i，从i开始走到正确节点j的期望步数（中间不能存档）

那么显然有

$step[i][i]=0$

$step[i][j]=step[i][j-1]*du[j-1]+du[j-1]+sum[j-1]\ (i<j)$

预处理step的时间为n²

之后枚举存档点转移即可

复杂度O(n²p)

最后的正解

被博主鸽了hhh

“咦但是你A了这道题啊？”

呃是这样的

出题人最终给了三种正解

博主选择的是第二种

但是并不会证明它的正确性（因为真的很像qj测试点？）

其实就是设定一个距离，只在距离内转移dp数组

事实上，我觉得出题人在解释这种做法时给出的解释也很含糊

好像只是说了为什么step数组爆炸增长不会影响大局，没有给出指定距离内转移的合理性

所以大家还是直接点上面的链接看出题人讲解好了

博主有时间的话也会尝试使用另外两种做法A掉这道题的

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cstring>

using namespace std;

inline int read()

{

    int x=,f=;char ch=getchar();

    while(ch<''||ch>'')

    {if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}

    while(ch>=''&&ch<='')

    {x=(x<<)+(x<<)+ch-'';ch=getchar();}

    return x*f;

}

const int N=,dis=;

int n,m,p,T;

int du[N],nxt[N],to[N],head[N],tot=;

double g[N],dp[N][N],step[N][N],sum[N];

bool v[N];

void add(int x,int y)

{

    to[++tot]=y;

    nxt[tot]=head[x];

    head[x]=tot;

    du[x]++;

}

void dfs(int x)

{

    v[x]=;g[x]=;

    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])

    {

        dfs(to[i]);

        g[x]+=(double)/du[x]*g[to[i]];

    }

}

void work()

{

    n=read();m=read();p=read();

    for(int i=;i<=m;i++)

    head[i]=to[i]=nxt[i]=du[i]=v[i]=sum[i]=;

    tot=;

    for(int i=;i<=m-n;i++)

    {

        int x=read(),y=read();

        add(x,y);

    }

    for(int i=;i<n;i++)du[i]++;

    for(int i=n+;i<=m;i++)

        if(!v[i])dfs(i);

    for(int i=;i<=n;i++)

        for(int j=head[i];j;j=nxt[j])

            sum[i]+=g[to[j]];

    //for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lf\n",sum[i]);

    for(int i=;i<=n;i++)

    {

        step[i][i]=;

        for(int j=i+;j<=n;j++)

            step[i][j]=(double)du[j-]*step[i][j-]+sum[j-]+du[j-];

    }

    memset(dp,,sizeof(dp));

    dp[n][]=;

    for(int j=;j<=p;j++)

        for(int i=;i<=n;i++)

            for(int k=i+;k<=n&&k-i<=dis;k++)

                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-]+step[i][k]);

    printf("%.4lf\n",dp[][p]);

}

int main()

{

    T=read();

    while(T--)work();

    return ;

}