AtCoder Beginner Contest 408 E-F 题解

E. Minimum OR Path

题意

给你一个 \(N\) 个点 \(M\) 条边的无自环的无向图，第 \(i\) 条边连接 \(u_i\) 和 \(v_i\)，权值为 \(w_i\)。

在所有从 \(1\) 到 \(n\) 的简单路径（不经过同一点两次的路径）中，找到边权或和的最小值。

思路

贪心。把最终答案转换成二进制数看，接下来所说的高位、低位都指二进制位：

可以发现，越高位的贡献越大，而且二进制数 \(100000>011111\)，即，只要高位是 \(0\)，不管低位怎么增加都还是比原来小；

所以，要使答案最小，首先要使高位尽可能小。

那就可以从高位往低位贪心，假设一开始的答案的 \(31\) 位每一位都是 \(1\)。从第 \(31\) 位开始，假设这一位是 \(0\)，并把这个图的边全部删除（认为这个图上只有点，无边，后续逐渐加边），然后将所有的满足 \([ 其边权的(当前位)和(之前已经确定不是 1的位)不是 1]\) 的边全部加入这个图，检测这个图是否连通。

若连通，说明这一位可以为 \(0\)，且这一位为 \(0\) 时的对答案的贡献一定比为 \(1\) 时的小，所以将答案的这一位设为 \(0\)；

否则，说明这一位只能为 \(1\)，那么答案的这一位还是 \(1\)，保留原值。

接下来说一下如何判断图是否联通：使用并查集（\(\text{DSU}\)）。对于每一位，处理之前先把 \(fa_i\) 初始化为 \(i\)，然后，对于每条满足要求（上面已经说过了）的边 \((u,v)\)，将 \(fa_{find(v)}=fa_{find(u)}\)。

时间复杂度为 \(O(N+M)\times\log N)\)。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=200005;
int n,m;
int fa[maxn];
struct Node{
	int u,v,w;
}e[maxn];
int find(int x){
	if(fa[x]==x) return fa[x];
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
signed main(){
	cin>>n>>m;
	int one=0,zero=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		e[i]={u,v,w};
	}
	for(int a=30;a>=0;a--){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			fa[i]=i;
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			if(e[i].w&(zero|(1<<a))) continue;
			int u=e[i].u,v=e[i].v;
			if(u>v) swap(u,v);
			if(find(u)==find(v)) continue;
			fa[find(v)]=fa[find(u)];
		}
		if(find(n)==find(1)){
			zero|=(1<<a);
		}else{
			one|=(1<<a);
		}
	}
	cout<<one<<endl;
	return 0;
}

F. Athletic

题意

有 \(N\) 个架子，第 \(i\) 个高度为 \(H_i\)，\(H\) 为长度为 \(N\) 的排列。一开始，你可以选择站在任意一个架子上，当你在架子 \(i\) 上时，你可以移动到满足以下条件的任意一个架子 \(j\) 上：

• \(H_i-H_j \ge D\) 且 \(1\le |i-j|\le R\) （\(D\) 和 \(R\) 已经给定）。

求出你的最大移动次数。

思路

考虑动态规划。设 \(f_i\) 表示到高度为 \(i\) 的那个架子移动的最大次数，\(pos_i\) 表示 \(i\) 在 \(H\) 中出现的位置。

则朴素的转移为 \(f_i=\max_{[1\le j\le N ]且[pos_i-R\le pos_j\le pos_i+R]且[j-i\ge D]}f_j+1\)。

显然这个复杂度是 \(O(N^2)\) 的，所以我们要想出一个 \(O(\log n)\) 或 \(O(1)\) 查询区间最大值的方法。

考虑线段树维护区间最大值，对于每个高度 \(i\)，将 \(f_{i+D}\) 的值加入线段树（若 \(i+D>N\) 就不加），然后区间查询 \([pos_i-R,pos_i+R]\) 的最大值为 \(p\)，则 \(f_i=p+1\)。最终最大的 \(f_i\) 值即为答案。

时间复杂度 \(O(N\log N)\)。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int inf=2e9;
const int maxn=500005;
struct SEGMENT_TREE{
	int mx[maxn<<2];
	void init(){memset(mx,-1,sizeof(mx));}
	void update(int x,int pos,int val,int l,int r){
		if(l==r) return void(mx[x]=val);
		int mid=l+r>>1;
		if(pos<=mid) update(x<<1,pos,val,l,mid);
		else update(x<<1|1,pos,val,mid+1,r);
		mx[x]=max(mx[x<<1],mx[x<<1|1]);
	}
	int query(int x,int L,int R,int l,int r){
		if(L<=l&&r<=R) return mx[x];
		int mid=l+r>>1,ans=-inf;
		if(L<=mid) ans=max(ans,query(x<<1,L,R,l,mid));
		if(R>mid) ans=max(ans,query(x<<1|1,L,R,mid+1,r));
		return ans;
	}
}TR;
int h[maxn],f[maxn];
int pos[maxn];
signed main(){
    int n,D,R;
	cin>>n>>D>>R;
	TR.init();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>h[i];
		pos[h[i]]=i;
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		if(i+D<=n) TR.update(1,pos[i+D],f[i+D],1,n);
		f[i]=TR.query(1,max(1ll,pos[i]-R),min(n,pos[i]+R),1,n)+1;
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,f[i]);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}