【概率论】5-7:Gama分布(The Gamma Distributions Part I)

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title: 【概率论】5-7:Gama分布(The Gamma Distributions Part I)

categories:

- Mathematic

- Probability

keywords:

- The Gamma Distributions

toc: true

date: 2018-03-31 18:33:39

Abstract: 本文介绍Gamma函数和Gamma分布，本课第二部分介绍指数分布

Keywords: The Gamma Distributions

开篇废话

今天的废话就是如果看书的时候没看透彻，写博客的时候就会不知所言，所以一定要学透了再总结，没学好就总结，会逻辑混乱

本文介绍了另一个非常有用的连续随机变量的分布族——Gamma分布，学习Gamma分布的适用场景和部分性质，以及一个贯穿始终的例子，排队时间，排队不只是人的排队，在计算机高性能计算，比如CUDA中，任务的排队也是有的，所以这个模型适用场景还是比较多的，虽然可能不如正态分布在自然界中那么普遍，但是在正随机变量中，Gamma分布族在连续分布中举足轻重。

The Gamma Function

在提出Gamma分布之前，我们先来认识一个非常有趣的函数，这个函数叫做Gamma函数。

首先来看个例子：

我们在给一灯泡的寿命建模，根据我们经验，这个灯泡的寿命越长，发生的概率越小，时间越短，则概率越高，寿命是0的我们不考虑，我们只考虑从0开始但不包括零，我们用下面的这个模型建模是合理的，之所以说是合理的而不是唯一的，是因为这个模型不具备唯一性：

f(x)={e−xforx>00otherwise
f(x)=
\begin{cases}
e^{-x}&\text{for} x>0\\
0&\text{otherwise}
\end{cases}
f(x)={e−x0​forx>0otherwise​

我们在没有大量数据或者试验情况下无法验证模型正确性，但是从目前来看好像和我们知道的先验知识吻合，所以我们就假定其是合理的，然后我们求这个灯泡的均值和方差：

E(X)=∫0∞xe−xdxVar(X)=∫0∞x2e−xdx
E(X)=\int^{\infty}_{0}xe^{-x}dx\\
Var(X)=\int^{\infty}_{0}x^2e^{-x}dx
E(X)=∫0∞​xe−xdxVar(X)=∫0∞​x2e−xdx

注意，第二个方差的计算我觉都有点问题，因为按照这个积分，是把均值当做 μ=0\mu=0μ=0 来计算的，但是均值是从0到正无穷的积分，所以均值不会是0，所以这个方差公式我们留意一下（如果有人知道我哪错了，可以给我留言，谢谢）

这个均值的计算是一个有趣的函数。

我们来回忆一下，我们的函数都是什么样子的，我们目前学过的函数大多数都是由初等函数经过计算得到的，比如 ex2+αsin(y)e^{x^2+\alpha sin(y)}ex2+αsin(y) 是指数计算组合了多项式和三角函数得到的一个新函数，当然，我们学了积分，微分运算后，我们可以用积分来生成新的函数，比如，我们把上面求均值的积分，定义为一个新函数，这个函数叫做Gamma函数

Definition 5.7.1 The Gamma Function.For each positive number α\alphaα ,let the value Γ(α)\Gamma(\alpha)Γ(α) be defined by the following integral:

Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx=1
\Gamma(\alpha)=\int^{\infty}_{0}x^{\alpha-1}e^{-x}dx=1
Γ(α)=∫0∞​xα−1e−xdx=1

The function Γ\GammaΓ defined by Eq.(5.7.1) for α>0\alpha>0α>0 is called the gamma function.

这就是Gamma函数的定义，这个希腊字母 Γ\GammaΓ 读作 “Gamma” 注意，这个函数的自变量是 α\alphaα 而 xxx 只是积分中的一个哑变量，没作用，可以写作任何变量。

在举个