CF Gym 102028G Shortest Paths on Random Forests

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抄题解×1

蒯板子真jir舒服。

构造生成函数，\(F(n)\)表示\(n\)个点的森林数量（本题都用EGF）。怎么求呢

\(f(n)=n^{n-2}\)表示\(n\)个点的树数量，根据\(\exp\)定义，\(e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\)。那么\(F=\exp f\)，感性理解就是如果选\(i\)个联通块拼起来就除以\(i!\)，很对的样子。

那么期望就等于所有森林的答案之和除以\(F(n)\)

\(G(n)\)表示\(n\)个点所有森林的【可达】【有序】点对之和。

显然的转移：\(G(n)=\sum_{i=1}^nF(x-i)A(i)\)，\(A(i)\)就是分离出了一个\(i\)个点的联通块，这个联通块有\(i^{i-2}\)种树，而且可达点对有\(C_n^2\)个。

所以\(A(n)=i^{i-2}\cdot C_n^2\)。

\(H(n)\)表示\(n\)个点所有森林的【连通】点对【贡献】（路径长度平方）和。

路径长度平方可以看做在路径上选1或2条边的方案数。选边看成切开这条边切成两个联通块。设\(B(n)\)表示一个\(n\)个点的连通块的贡献值。\(B(n)=n^{n-2}\cdot n\cdot n\)，\(n^{n-2}\)是树的数量，还有两个\(n\)表示要把整棵树串起来选出的两个端点。

\(x^2=2C_x^2+C_x^1\)，要对应系数，就是选2条边的方案数×2+选1条边的，也就是3个连通块的×2+2个连通块的。\(H(n)=2B(n)^3+B(n)^2\)

注意一条路径会被正反算两次，\(H\)要除个2

然后可以求答案了。如果\(m\)不管答案就是\(\frac{H(n)}{2F(n)}\)（\(H\)没除过2），但是有\(m\)所以要知道不可达的点对之和，这个值就是\(C_n^2F(n)-G(n)\)。总答案为\(\frac{m^2(C_n^2F(n)-G(n))+0.5H(n)}{F(n)}\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define vd void
#define mod 998244353
#define poly std::vector<int>
typedef long long ll;
il ll gi(){
    ll x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f^=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f?x:-x;
}
il int pow(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1)ret=1ll*ret*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;y>>=1;
    }
    return ret;
}
#define maxn 524289
poly pA,pB;
int rev[maxn],_lstN,P[maxn],iP[maxn];
il vd ntt(int*A,int N,int t){
    for(int i=0;i<N;++i)if(rev[i]>i)std::swap(A[i],A[rev[i]]);
    for(int o=1;o<N;o<<=1){
        int W=t?P[o]:iP[o];
        for(int*p=A;p!=A+N;p+=o<<1)
            for(int i=0,w=1;i<o;++i,w=1ll*w*W%mod){
                int t=1ll*w*p[i+o]%mod;
                p[i+o]=(p[i]-t+mod)%mod;p[i]=(p[i]+t)%mod;
            }
    }
    if(!t){
        int inv=pow(N,mod-2);
        for(int i=0;i<N;++i)A[i]=1ll*A[i]*inv%mod;
    }
}
int N,lg;
il vd setN(int n){
    N=1,lg=0;
    while(N<n)N<<=1,++lg;
    if(N!=_lstN)for(int i=0;i<N;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<lg-1);
}
il vd ntt(poly&a,int t){
    static int A[maxn];
    for(int i=0;i<a.size();++i)A[i]=a[i];memset(A+a.size(),0,4*(N-a.size()));
    ntt(A,N,t);
    a.resize(N);
    for(int i=0;i<N;++i)a[i]=A[i];
    int s=a.size();while(s&&!a[s-1])--s;
    a.resize(s);
}
il poly mul(poly a,poly b,int newn){
    setN(a.size()+b.size()-1);
    ntt(a,1),ntt(b,1);
    for(int i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
    ntt(a,0);a.resize(newn);
    return a;
}
il poly operator+(poly a,const poly&b){
    if(a.size()<b.size())a.resize(b.size());
    for(int i=0;i<a.size();++i)if(i<b.size())a[i]=(a[i]+b[i])%mod;
    return a;
}
il poly operator-(poly a,const poly&b){
    if(a.size()<b.size())a.resize(b.size());
    for(int i=0;i<a.size();++i)if(i<b.size())a[i]=(a[i]-b[i]+mod)%mod;
    return a;
}
il poly operator*(poly a,int b){
    for(auto&i:a)i=1ll*i*b%mod;
    return a;
}
il poly qiudao(poly a){
    for(int i=0;i<a.size()-1;++i)a[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;
    a.erase(a.end()-1);
    return a;
}
il poly jifen(poly a){
    a.insert(a.begin(),0);
    for(int i=1;i<a.size();++i)a[i]=1ll*a[i]*pow(i,mod-2)%mod;
    return a;
}
il poly getinv(poly a){
    if(a.size()==1)return poly(1,pow(a[0],mod-2));
    int n=a.size(),m=a.size()+1>>1;
    poly _a(m);
    for(int i=0;i<m;++i)_a[i]=a[i];
    poly b=getinv(_a);
    setN(n+m*2-2);
    ntt(a,1);ntt(b,1);
    for(int i=0;i<N;++i)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod*b[i]%mod;
    ntt(a,0),ntt(b,0);
    a.resize(n);
    return b*2-a;
}
il poly getln(poly a,int n=-1){
    if(n==-1)n=a.size();
    a.resize(n);
    return jifen(mul(qiudao(a),getinv(a),n));
}
il poly getexp(poly a){
    if(a.size()==1)return a[0]=1,a;
    int n=a.size(),m=a.size()+1>>1;
    poly _a(m);
    for(int i=0;i<m;++i)_a[i]=a[i];
    poly b=getexp(_a);
    return mul(b,poly(1,1)-getln(b,a.size())+a,a.size());
}
il vd poly_init(){
	int G=3,iG=332748118;
    for(int i=1;i<maxn;i<<=1)P[i]=pow(G,(mod-1)/(i<<1)),iP[i]=pow(iG,(mod-1)/(i<<1));
}
int fact[200010],ifact[200010],qn[200010],qm[200010];
int main(){
#ifdef XZZSB
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("out.out","w",stdout);
#endif
    poly_init();
	int N=0,T=gi();
	for(int i=1;i<=T;++i)qn[i]=gi(),qm[i]=gi(),N=std::max(N,qn[i]+1);
	poly F(N),G(N);
	fact[0]=1;for(int i=1;i<N;++i)fact[i]=1ll*fact[i-1]*i%mod;
	ifact[N-1]=pow(fact[N-1],mod-2);for(int i=N-2;~i;--i)ifact[i]=1ll*ifact[i+1]*(i+1)%mod;
	F[1]=1;for(int i=2;i<N;++i)F[i]=1ll*ifact[i]*pow(i,i-2)%mod;
	F=getexp(F);
	for(int i=2;i<N;++i)G[i]=1ll*pow(i,i-2)*(1ll*i*(i-1)/2%mod)%mod*ifact[i]%mod;
	G=mul(F,G,N);
	poly B(N);
	for(int i=1;i<N;++i)B[i]=1ll*pow(i,i)*ifact[i]%mod;
	poly B2(mul(B,B,N)),B3(mul(B,B2,N)),H(mul(F,B2+B3*2,N));
	for(int i=1;i<N;++i)F[i]=1ll*F[i]*fact[i]%mod,G[i]=1ll*G[i]*fact[i]%mod,H[i]=1ll*H[i]*fact[i]%mod;
	int n,m;
	for(int i=1;i<=T;++i){
		n=qn[i],m=qm[i];
		m=1ll*m*m%mod*(1ll*n*(n-1)/2%mod*F[n]%mod-G[n]+mod)%mod;
		printf("%lld\n",1ll*pow(F[n],mod-2)*(m+1ll*H[n]*(mod+1>>1)%mod)%mod);
	}
	return 0;
}