GDOI2018 小学生图论题 [NTT]

并没有传送门qwq

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思路

首先要知道一个结论（或者说是一个套路）：一个竞赛图缩点之后必定是一条链。

那么强联通分量的个数，就是这条链的边数+1。

考虑一条边什么时候会出现：当且仅当点集可以被分成\(S,T\)两个集合且他们之间的边全都是\(S\rightarrow T\)的。

那么\(m=0\)时可以枚举点集大小，那么答案就是

\[1+\sum_{i=1}^{n-1} {n\choose i} (\frac 1 2)^{i(n-i)}
\]

\(m>0\)时仍然考虑枚举点集大小，此时每条链上的点要么全都在一边，要么被分成了两半，相当于做了个背包，可以用NTT优化。

但分成两半时中间的那条边已经固定了下来，没有必要算上它的\(\frac 1 2\)。

考虑把这个\(\frac 1 2\)抵消掉，那么可以把它的系数置为2。

也就是说，对于一个\(k\)个点的链，它的多项式是\(1+2x+2x^2+\cdots+2x^{k-1}+x^k\)。

最后把所有链都乘起来变成\(A(x)\)，那么答案就是

\[1+\sum_{i=1}^{n-1}{n\choose i}[x^i]A(x)
\]

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
	#define templ template<typename T>
	#define sz 401010
	#define mod 998244353ll
	typedef long long ll;
	typedef double db;
	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
	templ inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
	inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
	inline void print(register int x)
	{
		if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
		while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
		while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
	}
	void file()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.in","r",stdin);
		#endif
	}
	inline void chktime()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
		#endif
	}
	#ifdef mod
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
	#else
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
	#endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,_m,m;
int cc[sz];

ll _tmp[sz];
ll *a[sz];

int r[sz],limit;
void NTT_init(int n)
{
	int l=-1;limit=1;
	for (;limit<=n;limit<<=1) ++l;
	rep(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
}
void NTT(ll *a,int type)
{
	rep(i,0,limit-1) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
	for (int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
	{
		ll Wn=ksm(3,(mod-1)/mid>>1);if (type==-1) Wn=inv(Wn);
		for (int len=mid<<1,j=0;j<limit;j+=len)
		{
			ll w=1;
			for (int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn%mod)
			{
				ll x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if (type==1) return;
	ll I=inv(limit);
	rep(i,0,limit-1) a[i]=a[i]*I%mod;
}
ll tmp[60][sz],len[60];
int st[60],top;
int NTT(int l,int r)
{
	if (l==r)
	{
		int ret=st[top--];
		rep(i,0,cc[l]) tmp[ret][i]=a[l][i];
		len[ret]=cc[l];
		return ret;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	int L=NTT(l,mid),R=NTT(mid+1,r);
	int cur=st[top--];
	NTT_init(len[L]+len[R]+2);
	NTT(tmp[L],1);NTT(tmp[R],1);
	rep(i,0,limit-1) tmp[cur][i]=tmp[L][i]*tmp[R][i]%mod;
	NTT(tmp[cur],-1);
	len[cur]=len[L]+len[R];
	rep(i,0,limit-1) tmp[L][i]=tmp[R][i]=0;
	st[++top]=L;st[++top]=R;
	return cur;
}

int main()
{
	file();
	read(n,_m);
	int m=n,cur=0;
	rep(i,1,_m) { read(cc[i]); m-=cc[i]-1; rep(j,1,cc[i]) read(cc[0]); }
	rep(i,_m+1,m) cc[i]=1;
	rep(i,1,m)
	{
		a[i]=_tmp+cur;
		a[i][0]=a[i][cc[i]]=1;
		rep(j,1,cc[i]-1) a[i][j]=2;
		cur+=cc[i]+1;
	}
	rep(i,1,50) st[i]=i;
	top=50;
	int p=NTT(1,m);
	ll ans=1;
	rep(i,1,n-1) (ans+=tmp[p][i]*inv(ksm(2,1ll*i*(n-i)%(mod-1)))%mod)%=mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}