Cipolla算法学习笔记

　　学习了一下1个$\log$的二次剩余。然后来水一篇博客。

　　当$p$为奇素数的时候，并且$(n, p) \equiv 1 \pmod{p}$，用Cipolla算法求出$x^2 \equiv n \pmod{p}$的一组解。

　　寻找一个$a$，使得$a^2 - n$是一个二次非剩余。

　　期望只用2次就能找到。

　　令$\omega \equiv \sqrt{a^2 - n} \pmod{p}$，显然这个值不存在，我们强行扩域。

　　那么$(a + \omega)^{(p + 1) / 2}$即为一组解。

　　证明如下：

$$
\begin{align}
(a + \omega)^{p+1} & \equiv \sum_{i = 0}^{p + 1} \binom{p+1}{i}a^i\omega^{p + 1- i} \\
&\equiv a^{p + 1} + \omega^{p + 1} + (p + 1)(a\omega^p + \omega^p a) \\
&\equiv a^2 + (a^2 - n)^{(p+1)/2}+(p+1)\omega\left[a(a^2-n)^{(p-1)/2} + a\right] \\
&\equiv a^2 - a^2 + n \\
&\equiv n \pmod{p}
\end{align}
$$