[poj2891]Strange Way to Express Integers(扩展中国剩余定理)

题意：求解一般模线性同余方程组

解题关键:扩展中国剩余定理求解。两两求解。

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {r_1}\,\bmod \,{m_1}}\\
{x = {r_2}\,\bmod \,{m_2}}
\end{array}} \right.$

为了代码的符号清晰，将转化后的系数都为正，故如下设方程。

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {r_1} - {k_1}{m_1}}\\
{x = {r_2} + {k_2}{m_2}}
\end{array}} \right.$

${r_1} - {r_2} = {k_2}{m_2} + {k_1}{m_1}$

以上其实是另一个模线性同余方程组。

考虑$ax + by = c$

由模线性同余方程的存在定理：$\gcd (a,b)|c$

$\begin{array}{l}
\frac{a}{{\gcd (a,b)}}x + \frac{b}{{\gcd (a,b)}} = \frac{c}{{\gcd (a,b)}}\\
x \equiv {(\frac{a}{{\gcd (a,b)}})^{ - 1}}\frac{c}{{\gcd (a,b)}}\bmod (\frac{b}{{\gcd (a,b)}})
\end{array}$

回归原式：

$x$即为${k_1}$

推出原式中的$x$

$x = {r_1} - {k_1}{m_1} = {r_1} - {m_1}{(\frac{{{m_1}}}{{\gcd ({m_1},{m_2})}})^{ - 1}}\frac{{{r_2} - {r_1}}}{{\gcd ({m_1},{m_2})}}\bmod \frac{{{m_1}{m_2}}}{{\gcd ({m_1},{m_2})}}$

一般化这个结论，模数即为lcm，可直接记住

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 ll x,y,r[],m[],n;
 ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
     ll d=a;
     if(b)   d=extgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
     else  x=,y=;
     return d;
 }
 ll excrt(int n,ll *m,ll *r){
     ll M=m[],pre=r[],d;//a是模数
     for(int i=;i<n;i++){
         d=extgcd(M,m[i],x,y);
         if((pre-r[i])%d!=) return -;
         x=(pre-r[i])/d*x%m[i];
         pre-=x*M;
         M=M/d*m[i];//lcm
         pre%=M;
     }
     return (pre%M+M)%M;
 }
 int main(){
     ios::sync_with_stdio();
     while(cin>>n){
         for(int i=;i<n;i++) cin>>m[i]>>r[i];
         ll ans=excrt(n,m,r);
         printf("%lld\n",ans);
     }
 }