CF(439E - Devu and Birthday Celebration)莫比乌斯容斥

题意：将n个糖果插入f-1个挡板分成f分(a1,a2,a3...af)。

问有多少种分法能够使得gcd(a1,a2,a3...af)=1;

解法。莫比乌斯容斥，首先按1为单位分，这时候有C(n-1,f-1)种，然后去掉gcd不是1的。这时候就规定质因子个数是奇数的就减(mou值为-1)，偶数的为加(mou值是+1)，然后出现平方数为约数的数mou值为0。这样就做到了容斥，非常巧妙。

容斥时，要注意仅仅用计算是n的约数的数，由于假设不是n的约数，那么gcd里一定不会出现这个因子。

代码：

/******************************************************
* author:xiefubao
*******************************************************/
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <string.h>
//freopen ("in.txt" , "r" , stdin);
using namespace std;

#define eps 1e-8
#define zero(_) (abs(_)<=eps)
const double pi=acos(-1.0);
typedef long long LL;
const int Max=100010;
const int INF=1000000007;

int mou[Max];
LL fac[Max];
map<pair<int,int>,LL> maps;
int n,f;
LL pow(LL a,int b)
{
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%INF;
        a=(a*a)%INF;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
LL getreverse(LL lo)
{
    return pow(lo,INF-2);
}
void init()
{
    for(LL i=2; i<Max; i++)
        if(!mou[i])
        {
            mou[i]=i;
            for(LL j=i*i; j<Max; j+=i)
                mou[j]=i;
               // cout<<i<<" ";
        }
    mou[1]=1;
    for(int i=2; i<Max; i++)
    {
        if((i/mou[i])%mou[i]==0) mou[i]=0;
        else mou[i]=-mou[i/mou[i]];
    }
    fac[0]=1;
    for(int i=1; i<Max; i++)
        fac[i]=(fac[i-1]*i)%INF;
}
LL C(int a,int b)
{
    LL ans=fac[a];
    ans=(ans*getreverse(fac[a-b])%INF*getreverse(fac[b]))%INF;
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    init();
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&f);
        if(maps.find(pair<int,int>(n,f))!=maps.end())
        {
            printf("%I64d\n",maps[pair<int,int>(n,f)]);
            continue;
        }
        LL ans=0;
        for(int i=1; i<=n/f; i++)
        {
            if((n%i)!=0)continue;
            ans+=C(n/i-1,f-1)*mou[i];
            if(ans>=INF)
                ans-=INF;
            if(ans<0)
                ans+=INF;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
        maps[pair<int,int>(n,f)]=ans;
    }
    return 0;
}