luogu3687-[ZJOI2017] 仙人掌

Description

P3687 [ZJOI2017]仙人掌 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

Solution

我们先考虑只有一棵树如何处理.

仙人掌可以看做若干环的集合. 特别的, 对于一条没有环的边, 可以加上重边, 那么这个边和它的重边构成一个环.

对于树来说, 问题就可以转化为求加上若干条边, 使树上的每一条边在且仅在一个环内的方案数.

去掉加的边, 也就是说求用若干条边不相交的链将整个树覆盖的方案数.

考虑树形dp.

设 \(f_i\) 表示考虑 \(i\) 的子树与 \(i\) 连向父亲的边, 用若干条边不相交的链覆盖的方案数;

\(g_n\) 表示一个点连出 \(n\) 条边, 用若干条边不相交的链覆盖的方案数, 也就是说, 将 \(n\) 条边两两匹配或者单独留下的方案数.

考虑最后一条边是否匹配, 我们可以得出 \(g_i\) 的通项:

\[g_i = g_{i-1} + g_{i-2} \cdot (i-1)
\]

然后求 \(f_i\):

对于非根的点 \(i\), 它连出了 \(|child(i)| + 1\) 条边. 可以考虑将 \(f_j\) 连向父亲的边两两匹配或者单独留下, 根据乘法原理, 有

\[f_i = \prod_{j \in child(i)} f_j \cdot g_{|child(i)| + 1}
\]

对于\(i = rt\), 它没有连向父亲的边, 因此

\[f_i = \prod_{j \in child(i)} f_j \cdot g_{|child(i)|}
\]

答案即为 \(f_{rt}\).

最后考虑其他的图怎么做:

如果不是仙人掌, 答案为0;

如果图是仙人掌:

对于仙人掌的一个环上的两点 \(p\) 和 \(q\), 显然不能再加边使它们在环外联通. 因此, 我们可以去掉所有的环, 对于剩下的每棵树分别求出答案, 对答案相乘即可.

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define rep(i,l,r) for(register int i=(l);i<=(r);++i)
#define repdo(i,l,r) for(register int i=(l);i>=(r);--i)
#define il inline
typedef double db;
typedef long long ll;

//---------------------------------------
const int nsz=5e5+50,msz=1e6+50;
const ll nmod=998244353;
int t,n,m;

struct te{int t,pr,del;}edge[msz*2];
int hd[nsz],pe=1;
#define forg(p,i,v) for(int i=hd[p],v=edge[i].t;i;i=edge[i].pr,v=edge[i].t)
void adde(int f,int t){edge[++pe]=(te){t,hd[f],0};hd[f]=pe;}
void adddb(int f,int t){adde(f,t);adde(t,f);}

ll g[nsz];
void init(int bnd){
	g[0]=1,g[1]=1;
	rep(i,2,bnd)g[i]=(g[i-1]+g[i-2]*(i-1))%nmod;
}

int vis[nsz],stkp[nsz],stk[nsz],top=0;
bool solcactus(int p,int e0){
	stk[++top]=e0^1,stkp[p]=top,vis[p]=1;
	forg(p,i,v){
		if(i==e0)continue;
		if(vis[v]){//cir
			if(stkp[v]>stkp[p])continue;
			edge[i].del=edge[i^1].del=1;
			rep(j,stkp[v]+1,stkp[p]){
				if(edge[stk[j]].del)return 0;
				edge[stk[j]].del=edge[stk[j]^1].del=1;
			}
			continue;
		}
		if(solcactus(v,i^1)==0)return 0;
	}
	--top;
	return 1;
}

ll dp[nsz];
void dfs(int p,int fa){
	dp[p]=1,vis[p]=1;
	int cnt=0;
	forg(p,i,v){
		if(v==fa||edge[i].del)continue;
		dfs(v,p);
		dp[p]=dp[p]*dp[v]%nmod;
		++cnt;
	}
	dp[p]=dp[p]*(fa==0?g[cnt]:g[cnt+1])%nmod;
}

ll sol(){
	memset(vis,0,(n+10)*sizeof(int));
	top=0;
	if(solcactus(1,0)==0)return 0;
	memset(vis,0,(n+10)*sizeof(int));
	ll res=1;
	rep(i,1,n){
		if(vis[i]==0)dfs(i,0),res=res*dp[i]%nmod;
	}
	return res;
}

void init1(int n){
	memset(hd,0,(n+10)*sizeof(int));
	pe=1;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
	init(5e5+50);
	cin>>t;
	rep(cs,1,t){
		cin>>n>>m;
		init1(n);
		int a,b;
		rep(i,1,m)cin>>a>>b,adddb(a,b);
		cout<<sol()<<'\n';
	}
	return 0;
}