[Noi2013]向量内积
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两个d 维向量A=[a1,a2,...,ad]与B=[b1,b2,...,bd]的内积为其相对应维度的权值的乘积和,即:
$\sum_{i=1}^{d}ai*bi$
现有 n 个d 维向量x1,...,xn ,小喵喵想知道是否存在两个向量的内积为k的倍数。请帮助她解决这个问题
k=2时 n<=20000 d<=100 k=3时n<=1000,d<=100 或者n<=100000 d<=30
把两个向量内积看作矩阵一个1*d的矩阵和d*1的矩阵相乘
那么k=2的时候,就是一个n*d的矩阵和一个d*n的矩阵相乘,问得到的n*n的矩阵除了主对角线之外有没有0(mod k)
直接计算复杂度n^2d 所以不考虑计算它,而是转而判断得到的矩阵是否等于我想要的矩阵
假设n*d的矩阵为A,把它倒过来之后得到的d*n的矩阵为B,C=A*B,我期望的矩阵为D
矩阵D的主对角线的值可以O(nd)计算,其他值显然是1。
要判断C是否等于D,我可以转而随机一个n*1的向量T,判断C*T是否等于D*T即可
因为T只存在0和1,所以D*T可快速计算 而计算A*B*T时,我们可以先计算B*T,再计算A*(B*T),这两次计算都是O(nd)的
那么就做完了。复杂度O(nd)
但是k=3的时候,无法直接知道期望的矩阵,但是发现2^2=1(mod 3)
于是考虑计算E,Eij=Cij^2;矩阵D主对角线也对应平方一下
发现$Eij=(\sum Aik*Bkj)^{2}$ 展开后得到$Eij=\sum_{k1=1}^{d}\sum_{k2=1}^{d}Aik1*Bk1j*Aik2*Bk2j$
这个可以看作$n*d^{2}$的矩阵和一个$d^{2}*n$的矩阵相乘 之后就按照k=2的做法就行了 复杂度$O(nd^{2})$
但是这个办法并不能保证正确 如果直接让矩阵T都是1的话 在bzoj会被叉...
所以我们多随机几次就行了 一般都能过的吧
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rint register int
#define getchar() (*S++)
char BB[<<],*S=BB;
using namespace std;
inline int read()
{
int x = ; char ch = getchar();
while(ch < '' || ch > '') ch = getchar();
while(ch >= '' && ch <= ''){x = x * + ch - '';ch = getchar();}
return x;
} int A[][],B[],C[],D[],E[],n,d,K,cnt=,sum=,id[][]; inline bool check(int a,int b)
{
int Sum=;
for(rint i=;i<=d;++i)
Sum+=A[a][i]*A[b][i];
return Sum%K==;
} inline void Solve(int x)
{
for(rint i=;i<=n;++i)
if(i!=x&&check(i,x))
{printf("%d %d\n",min(x,i),max(x,i));return;}
} int main()
{
fread(BB,,<<,stdin);
srand(23333U);
n=read();d=read();K=read();
for(rint i=;i<=n;++i)
for(rint j=;j<=d;++j)
A[i][j]=read()%K;
if(K==) for(int It=;It<=;++It)
{
for(rint i=;i<=n;++i) C[i]=rand()&,sum+=C[i];
for(rint i=;i<=n;++i)
for(rint j=;j<=d;++j)
B[j]+=A[i][j]*C[i];
for(rint i=;i<=d;++i) B[i]%=K;
for(rint i=;i<=n;++i)
for(rint j=;j<=d;++j)
D[i]+=A[i][j]*B[j];
for(rint i=;i<=n;++i)
for(rint j=;j<=d;++j)
E[i]+=A[i][j];
for(rint i=;i<=n;++i) E[i]=(E[i]*C[i]+sum-C[i])%K;
for(rint i=;i<=n;++i) if(E[i]!=(D[i]%K)) return Solve(i),;
sum=;
for(rint i=;i<=n;++i) E[i]=D[i]=B[i]=;
}
else for(int It=;It<=;++It)
{
for(rint i=;i<=n;++i) C[i]=rand()%,sum+=C[i];
for(rint i=;i<=d;++i)
for(rint j=;j<=d;++j)
id[i][j]=++cnt;
for(rint k=;k<=n;++k)
for(rint i=;i<=d;++i)
for(rint j=;j<=d;++j)
B[id[i][j]]+=A[k][i]*A[k][j]*C[k];
for(rint i=;i<=cnt;i++) B[i]%=K;
for(rint i=;i<=n;++i)
for(rint j=;j<=d;++j)
for(rint k=;k<=d;++k)
D[i]+=A[i][j]*A[i][k]*B[id[j][k]];
for(rint i=;i<=n;++i)
for(rint j=;j<=d;++j)
E[i]+=A[i][j]*A[i][j];
for(rint i=;i<=n;++i) E[i]%=K,E[i]=(E[i]*E[i]*C[i]+sum-C[i])%K;
for(rint i=;i<=n;++i) if(E[i]!=(D[i]%K)) return Solve(i),;
sum=;
for(rint i=;i<=n;++i) E[i]=D[i]=B[i]=;
}
return *puts("-1 -1");
}
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