HDU-2262 Where is the canteen 概率DP,高斯消元

　　题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2262

　　题意：LL在一个迷宫里面转，每次走向周围能走的点的概率都是一样的，现在LL要随机的走到canteen哪里，求期望。

　　这个是带环的求期望问题，并且没有什么特殊性，只有列出方程，然后gauss消元了。首先用BFS求出能走的点，并判断能否走到canteen。然后列出期望方程，E[i]=Σ( E[j]*p[j] ) +1。然后好求了，注意题目中有多个canteen。。。

 //STATUS:C++_AC_437MS_700KB
 #include <functional>
 #include <algorithm>
 #include <iostream>
 //#include <ext/rope>
 #include <fstream>
 #include <sstream>
 #include <iomanip>
 #include <numeric>
 #include <cstring>
 #include <cassert>
 #include <cstdio>
 #include <string>
 #include <vector>
 #include <bitset>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <list>
 #include <set>
 #include <map>
 using namespace std;
 //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
 //using namespace __gnu_cxx;
 //define
 #define pii pair<int,int>
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define lson l,mid,rt<<1
 #define rson mid+1,r,rt<<1|1
 #define PI acos(-1.0)
 //typedef
 typedef __int64 LL;
 typedef unsigned __int64 ULL;
 //const
 const int N=;
 const int INF=0x3f3f3f3f;
 const LL MOD=,STA=;
 const LL LNF=1LL<<;
 const double EPS=1e-;
 const double OO=1e30;
 const int dx[]={-,,,};
 const int dy[]={,,,-};
 const int day[]={,,,,,,,,,,,,};
 //Daily Use ...
 inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}
 template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
 template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
 template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}
 template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
 template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}
 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}
 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}
 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}
 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}
 //End

 /*   gauss_elimination  O(n^3)
    n个方程n个变元
    要求系数矩阵可逆
    A[][]是增广矩阵,即A[i][n]是第i个方程右边的常数bi
    运行结束后A[i][n]是第i个未知数的值    */
 int vis[][],cnt[][],e[][];
 char g[][];
 int n,m,tot,sx,sy;

 double A[N][N];

 int gauss(int n)
 {
     int i,j,k,r;
     for(i=;i<n;i++){
         //选一行与r与第i行交换，提高数据值的稳定性
         r=i;
         for(j=i+;j<n;j++)
             if(fabs(A[j][i]) > fabs(A[r][i]))r=j;
         if(r!=i)for(j=;j<=n;j++)swap(A[r][j],A[i][j]);
         //i行与i+1~n行消元
       /*  for(k=i+1;k<n;k++){   //从小到大消元，中间变量f会有损失
             double f=A[k][i]/A[i][i];
             for(j=i;j<=n;j++)A[k][j]-=f*A[i][j];
         }*/
         for(j=n;j>=i;j--){   //从大到小消元，精度更高
             for(k=i+;k<n;k++)
                 A[k][j]-=A[k][i]/A[i][i]*A[i][j];
         }
     }
     //判断方程时候有解
     for(i=;i<n;i++)if(sign(A[i][i])==)return ;
     //回代过程
     for(i=n-;i>=;i--){
         for(j=i+;j<n;j++)
             A[i][n]-=A[j][n]*A[i][j];
         A[i][n]/=A[i][i];
     }
     return ;
 }

 int bfs()
 {
     int i,j,x,y,nx,ny,t;
     queue<int> q;
     q.push(sx*m+sy);
     mem(vis,-);mem(cnt,);
     vis[sx][sy]=tot=;
     tot++;
     while(!q.empty()){
         t=q.front();q.pop();
         x=t/m;y=t%m;
         for(i=;i<;i++){
             nx=x+dx[i];
             ny=y+dy[i];
             if(nx>=&&nx<n && ny>=&&ny<m && g[nx][ny]!='#'){
                 cnt[x][y]++;
                 if(vis[nx][ny]!=-)continue;
                 vis[nx][ny]=tot++;
                 q.push(nx*m+ny);
             }
         }
     }
     for(i=;i<n;i++){
         for(j=;j<m;j++)
             if(vis[i][j]!=- && e[i][j])return ;
     }
     return ;
 }

 int main(){
  //   freopen("in.txt","r",stdin);
     int i,j,k;
     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
     {
         mem(e,);
         for(i=;i<n;i++){
             scanf("%s",g[i]);
             for(j=;j<m;j++){
                 if(g[i][j]=='@')sx=i,sy=j;
                 else if(g[i][j]=='$')e[i][j]=;
             }
         }

         if(!bfs()){
             printf("-1\n");
             continue;
         }
         mem(A,);
         for(i=;i<n;i++){
             for(j=;j<m;j++){
                 if(vis[i][j]==-)continue;
                 int u=vis[i][j];
                 double p=1.0/cnt[i][j];
                 if(e[i][j]){
                     A[u][u]=;
                     A[u][tot]=;
                     continue;
                 }
                 A[u][u]=A[u][tot]=;
                 for(k=;k<;k++){
                     int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
                     if(x>=&&x<n && y>=&&y<m && vis[x][y]!=-){
                         A[u][vis[x][y]]=-p;
                     }
                 }
             }
         }
         gauss(tot);
         printf("%.6lf\n",A[vis[sx][sy]][tot]);
     }
     return ;
 }