花园【SCOI2017期望DP入门题】

题目描述：

小 A 的花园的长和宽分别是 L，H 。小 A 喜欢在花园里做游戏。每次做游戏的时候，他都先把花园均匀分割成 L×H 个小方块，每个方块的长和宽都是 1 。然后，小 A 会从花园的西北角的小方块出发，按照一定的规则移动，在到达花园东南角的小方块时结束游戏。每次行动时，他都会移动到当前所在的小方块的东面或南面相邻的小方块上。如果小 A 当前在从北向南数第 i 块，从西向东数第 j 块小方块上，他向东移动的概率是 Pij ，向南移动的概率则是 1-Pij 。

在花园里做游戏常常会弄脏衣服，花园的每个小方块内都有一定的不干净度，用 Dij 表示。而一次游戏结束后，小 A 总的不干净度就是他经过的所有格子中不干净度之和（起点和终点的不干净度也计算在内）。

小 B 因为小 A 经常把衣服弄脏感到苦恼，他可能会决定在小 A 做游戏前对花园进行一次打扫。小 B 在打扫花园时，会从花园的西北角的小方块出发，每次移动到当前所在的小方块的东面或南面相邻的小方块上，在到达花园的东南角时结束打扫，他经过的所有的格子的不干净度都会变为 0 。现在，小 B 想知道，在他选择了最优的打扫策略的情况下，小 A 做完游戏后总不干净度之和是多少？

输入格式：

第一行输入两个空格隔开的正整数 L、H。

第二行一个整数 k，值为 0 或 1 ，k=0 表示小B不会打扫花园，k=1 表示小B会在游戏开始前打扫花园。

接下来 L 行，每行有 H 个自然数，第 i 行第 j 个数表示从北往南数第 i 个，从西往东数第 j 个小方块的不干净度 Dij 。

接下来 L 行，每行有 H 个实数，第 i 行第 j 个数表示从北往南数第 i 个，从西往东数第 j 个小方块的参数 Pij 。

输出格式：

输出一个整数，表示问题的答案，四舍五入保留到整数。

INPUT

3 3

1

200 100 100

200 100 300

100 200 300

0.2 0.8 0.0

0.8 0.3 0.0

1.0 1.0 1.0

OUTPUT

161

题目分析：

期望概率\(dp\)，学这个的时候对期望概率理解得还不深刻基本没理解好吧，所以不懂的地方很多，可能讲得比较细

遇到期望概率\(dp\)：



（来自\(linners\)）

首先我们很明显可以想到的是，每个节点的状态是可以从它左边和上面转移过来的。想到这一点，状态转移方程就好设计了。

容易有\(f[i][j] = f[i - 1][j] * (1 - p[i - 1][j]) + f[i][j - 1] * p[i][j - 1]\)，然后这个\(f\)数组处理出来的是概率，每次把不干净值乘上去再累加到\(ans\)上并一直递推下去

然后发现，如果没有小\(B\)这个人的话，其实我们的问题就已经搞定了所以为什么小B这么事儿多，直接输出

如果有的话，考虑在期望图上再做一次\(dp\)记录转移过来的当前最长链并累加起来，最后在答案上减去即可

这里说一下为什么要在期望图上做\(dp\)而非在原不干净值的图上做\(dp\)（对这个理解不深刻，卡的很久）：

如果在原图上做\(dp\)，相当于忽略了期望带来的影响。形象地讲，假设我们打扫了一个很脏很脏的格子，然后这个人有百万分之一的概率去踩这个格子

……那我可打扫个毛线啊！不如打扫一个相对比较脏，踩的几率更大的格子

而期望的本质是每种事件发生对答案贡献的加权平均，在期望图（即贡献的加权平均图上）跑一遍\(dp\)找出小\(B\)清理的最优策略，这个最优策略本质上是对答案影响最大（减少最多）的贡献的加权平均，不然数学意义都不一样怎么相减呢。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N (1000 + 5)
using namespace std;
inline int read() {
	int cnt = 0, f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c == '-') f = -f; c = getchar();}
	while (isdigit(c)) {cnt = (cnt << 3) + (cnt << 1) + c - '0'; c = getchar();}
	return cnt * f;
}
int l, h, k;
double c[N][N], f[N][N], p[N][N];
int d[N][N];
double sum;
signed main(){
	memset(c, 0, sizeof(c));memset(p, 0, sizeof(p));
	memset(f, 0, sizeof(f));memset(d, 0, sizeof(d));
	l = read(), h = read(), k = read();
	for (register int i = 1; i <= l; i++)
		for (register int j = 1; j <= h; j++)
			d[i][j] = read();

	for (register int i = 1; i <= l; i++)
		for (register int j = 1; j <= h; j++)
			scanf("%lf", &p[i][j]);
	sum = d[1][1];
	c[1][1] = d[1][1];
	f[1][1] = 1;
	for (register int i = 1; i <= l; i++)
		for (register int j = 1; j <= h; j++) {
			if (i == 1 && j == 1) continue;
			f[i][j] = f[i - 1][j] * (1 - p[i - 1][j]) + f[i][j - 1] * p[i][j - 1];
			c[i][j] = f[i][j] * d[i][j];
			c[i][j] += max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
			sum += f[i][j] * d[i][j];
		}
	if (!k) return printf("%.0lf",sum), 0;
	printf("%.0lf", sum - c[l][h]);
	return 0;
}