Box-Cox变换

简介

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Box-Cox变换的一般形式为：

式中

  

为经Box-Cox变换后得到的新变量，

  

为原始连续因变量，

  

为变换参数。以上变换要求原始变量

  

取值为正，若取值为负时，可先对所有原始数据同加一个常数

  

使其

  

为正值，然后再进行以上的变换。对不同的

  

所作的变换不同。在

  

时该变换为对数变换，

  

时为倒数变换，而在

  

时为平方根变换。Box-Cox变换中参数

  

的估计有两种方法：(1)最大似然估计；(2)Bayes方法。通过求解

  

值，就可以确定具体采用哪种变换形式。

变换过程

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Box-Cox变换是对回归因变量Y的如下变换：

在这里

  

是一个待定变换参数。对于不同的

  

，所作的变换也不相同，所以Box-Cox变换是一族变换，它包括了平方根变换(

  

)，对数变换(

  

)和倒数变换(

  

)等常用变换，对因变量的n个观测值

  

，应用上述变换，可得变换后的向量

我们要确定变换参数

  

，使得

  

满足

即要求通过因变量的变换，使得变换过的向量

  

与回归自变量具有线性相依关系，误差也服从正态分布．误差各分量是等方差且相互独立，故Box-Cox变换是通过参数

  

的适当选择。达到对原来数据的“综合治理”，使其满足一个正态线性回归模型的所有假设条件。

用极大似然方法来确定

  

，由于

  

，故对固定的

  

，

  

和

  

的似然函数为

其中，

  

为变换的Jacobi行列式

当

  

固定时，

  

是不依赖于参数

  

和

  

的常数因子，

  

的其余部分关于

  

和

  

求导数，令其等于零，可求得

  

和

  

的极大似然估计

残差平方和为

对应的似然最大值为

该式为

  

的一元函数，通过求它的最大值来确定

  

，因为

  

是x的单调函数，问题可转化为求

  

的最大值，对式(3)求对数，略去与

  

无关的常数项，得

其中，

式(4)对Box-Cox变换在计算机上实现带来很大的方便，因为我们只要求出残差平方和

  

的最小值，就可以求出

  

的最大值，虽然很难找出使

  

达到最小值的

  

的解析表达式，但是对一系列的

  

给定值，通过最普通的求最小二乘估计的回归程序，很容易计算出对应的

  

，画出

  

关于

  

的曲线，可在图上近似地找出

  

达到最小值的

  

。

Box-Cox变换变换的具体步骤如下：

(1)对给定的

  

值，计算

  

，如果

  

，用式(6)计算，否则用式(7)；

(2)利用式(5)计算残差平方和

  

；

(3)对一系列的

  

值，重复上述步骤，得到相应的残差平方和

  

的一串值，以

  

为横轴，作出相应的曲线，用直观的方法，找出使

  

达到最小值的点

  

。

(4)利用式(2)，求出

  

。

意义

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Box-Cox变换的一个显著优点是通过求变换参数

  

来确定变换形式，而这个过程完全基于数据本身而无须任何先验信息，这无疑比凭经验或通过尝试而选用对数、平方根等变换方式要客观和精确。

Box-Cox变换的目的是为了让数据满足线性模型的基本假定，即线性、正态性及方差齐性，然而经Box-Cox变换后数据是否同时满足了以上假定，仍需要考察验证 [2]  。