[六省联考2017]分手是祝愿 期望DP

表示每次看见期望的题就很懵逼。。。

但是这题感觉还是值得一做，有可借鉴之处

要是下面这段文字格式不一样的话（虽然好像的确不一样，我也不知道为什么，是直接从代码里面复制出来的，因为我一般都是习惯在代码里面敲注释。。。

还是比较妙的。

首先有一个贪心的最优策略，由于每盏灯最多开一次（两次就相当于没开），并且都只能影响它以及它之前的，

也就是只能被后面的影响，所以从后往前遍历，如果一盏灯还是开的话，那我们就必须关掉它，

不然就没人能关掉它了，于是这样我们可以得到对于初始状态的最优操作次数，

这个时候，由于操作先后顺序不对答案造成影响，因此我们可以直接用这个最优操作次数来描述一个状态，

而一开始的局面求出的最优操作次数t就是我们当前的状态，

设f[i]为状态为i时的期望，因此我们要求的就是f[t],

由于每盏灯都相当于是相互独立的，因此我们有：

$f[i]=(i/n) * f[i-1] + (n-i)/n * f[i+1] + 1;$

解释：
　　当最优操作为i次时，我们有i/n的概率操作到这i盏灯中的一盏，这时状态变为f[i-1]，

　　而剩下的(n-i)/n的概率就会操作到其他的灯，于是这会让状态变坏，变为f[i+1],

　　最后还要加上当前操作（正是这次操作导致了那些概率的产生）

　　但是我们发现，这样的话，f[i]就需要用f[i-1]和f[i+1]来推了，显然不太好，
　　于是考虑对式子进行化简:
方法一：（我的推倒）
　　　令$g[i]=f[i] - f[i-1]$;

　　于是直接对原式进行化简，如出现形如f[i] - f[i-1]之类的式子则用g[i]代替

　　于是原式=$n * f[i] = i * f[i] + (n - i) * f[i+1] + n$

　　---> $n * f[i] - i * f[i-1] = (n - i) * f[i+1] + n$

　　---> $(n - i) * f[i] + i * f[i] - i * f[i-1] = (n - i) * f[i+1] + n$

-　　　--> $(n - i) * f[i] + i * (f[i] - f[i-1]) = (n - i) * f[i+1] + n$

　　---> $(n - i) * f[i] + i * g[i] = (n - i) * f[i+1] + n$

　　---> $i * g[i] = (n - i) * f[i+1] - (n - i) * f[i] + n$

　　---> $i * g[i] = (n - i) * g[i+1] + n$

　　---> $g[i]=  \frac{(n - i) * g[i+1] + n} {i}$

方法二：（某大佬的推倒）

　　令$f[i]=\sum_{j = 1}^{i}{g[j]}$

　　于是原式:

　　$\sum_{j = 1}^{i}{g[j]} = \frac{i}{n} * \sum_{j = 1}^{i - 1}{g[j]} +\frac{n - i}{n} * \sum_{j = 1}^{i + 1}{g[j]} + 1$

　　---> 因为$\sum_{j = 1}^{i - 1}{g[j]}$ 与$ \sum_{j = 1}^{i + 1}{g[j]}$的前i-1项相同，且系数相加刚好为1，

　　于是将其提出，得到：$\sum_{j = 1}^{i}{g[j]} = \sum_{j = 1}^{i - 1}{g[j]} + \frac{n - 1}{n} * (g[i] + g[i + 1]) + 1$

　　$g[i] = \frac{n - i}{n} * (g[i] + g[i + 1]) + 1$　

　　然后将g[i]移项并化简得到

　　$g[i] = \frac{(n - i) * g[i - 1] + n}{i}$

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define R register int
 #define AC 100100
 #define mod 100003
 #define LL long long
 int n,k;
 LL ans,t;
 LL g[AC],inv[AC];
 vector<int> limit[AC];
 bool z[AC];
 //bitset<AC> z;

 inline int read()
 {
     int x=;char c=getchar();
     while(c > '' || c < '') c=getchar();
     while(c >= '' && c <= '') x=x*+c-'',c=getchar();
     return x;
 }

 void pre()
 {
     n=read(),k=read();
     for(R i=;i<=n;i++) z[i]=read();
     inv[]=;
     for(R i=;i<=n;i++) inv[i]=((mod - mod / i) * inv[mod % i]) % mod;
 }

 void count()//计算出要求的状态是什么
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
         for(R j=i;j<=n;j+=i)//很妙的枚举约数方法，其思想是枚举每一个约数对哪些数造成了贡献（成为它的约数）
             limit[j].push_back(i);
     for(R i=n;i>=;i--)
         if(z[i])
         {
             for(R j=;j<limit[i].size();j++) z[limit[i][j]]^=;
             t++;
         }
 //    printf("%d\n",t);
 }
 //当状态为f[n]时，无论怎么操作都是对的，于是一定会指向f[n-1],
 //所以g[n]=1，大概意思是从f[n]的状态推出题目所给的f[t]的状态的答案

 void work()
 {
     if(t <= k) ans=t;
     else
     {
         g[n]=;
         int be=n-;
         for(R i=be;i > k;i--) g[i]=( ((LL)(n - i) * g[i + ] + n) * inv[i]) % mod;
         for(R i=t;i>k;i--) ans=(ans + g[i]) % mod;//统计当前状态到k之间的期望
         ans=(ans + k) % mod;//最后就直接加k了
     }
     for(R i=;i<=n;i++) ans=(ans * i) % mod;
     printf("%lld\n",ans);
 }

 int main()
 {
     freopen("in.in","r",stdin);
     pre();
     count();
     work();
     fclose(stdin);
     return ;
 }