Codeforces Round #305 (Div. 2)

C. Mike and Frog

　　题意：有一只青蛙和一朵花，分别高度为h1、h2，每浇一次水，h1=(x1*h1+y1)mod m,h2=(x2*h2+y2)mod m。求最少浇多少次后h1=a1,h2=a2?

　　思路：先遍历m次找到第一次达到a1、a2的次数（若无，则为-1）；再找到各自的循环节长度，然后枚举m次循环，判断能否符合题意。注意，可能在y2=0的时候，导致a2只出现一次，后面由于出现0而使得0对任意数取模都为0，则应当特别处理。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 int main()
 {
     int m, a1, x1, y1, a2, x2, y2;
     long long h1, h2;
     scanf("%d", &m);
     scanf("%I64d%d%d%d", &h1, &a1, &x1, &y1);
     scanf("%I64d%d%d%d", &h2, &a2, &x2, &y2);
     int len1=-, len2=-, st1=-, st2=-;
     for (int i = ; i <=  * m; i++)
     {
         h1 = (x1*h1 + y1) % m;
         h2 = (x2*h2 + y2) % m;
         if (h1 == a1)
         {
             if (st1 == -) st1 = i;
             else if (len1 == -) len1 = i - st1;
         }
         if (h2 == a2)
         {
             if (st2 == -) st2 = i;
             else if (len2 == -) len2 = i - st2;
         }
         if (len1 != - && len2 != -) break;
     }
     if (st1 == - || st2 == -||(len1==-&&len2==-&&st1!=st2)) printf("-1\n");
     else
     {
         bool flag = false;
         for (int i = ; i <= m; i++)
         {
             if (len1 >  && len2 > )
             {
                 if ((1ll * st1 + 1ll * i * len1) >= st2 && (1ll * st1 + 1ll * i * len1 - st2) % len2 == )
                 {
                     printf("%I64d\n", 1ll * st1 + 1ll * i * len1);
                     flag = true;
                     break;
                 }
             }
             else if (len1 > )
             {
                 if ((1ll * st1 + 1ll * i * len1) == st2)
                 {
                     printf("%I64d\n", 1ll * st1 + 1ll * i * len1);
                     flag = true;
                     break;
                 }
             }
             else break;
         }
         if (!flag)
         {
             for (int i = ; i <= m; i++)
             {
                 if (len1 >  && len2 > )
                 {
                     if ((1ll * st2 + 1ll * i * len2) >= st1 && (1ll * st2 + 1ll * i * len2 - st1) % len1 == )
                     {
                         printf("%I64d\n", 1ll * st2 + 1ll * i * len2);
                         flag = true;
                         break;
                     }
                 }
                 else if (len2 > )
                 {
                     if ((1ll * st2 + 1ll * i * len2) == st1)
                     {
                         printf("%I64d\n", 1ll * st2 + 1ll * i * len2);
                         flag = true;
                         break;
                     }
                 }
                 else break;
             }
         }
         if (!flag) printf("-1\n");
     }

     return ;
 }
 /*
 999983
 408725 408721
 1 1
 378562 294895
 984270 0
 499981500166
 */
 /*
 16
 1 0
 2 0
 1 2
 2 0
 -1
 */

D. Mike and Feet

　　题意：有n只熊，每只熊有一个身高，他们站成一列。问区间长度为i时，所有区间最小值的最大值是多少？

　　思路：用单调栈分别求出每只熊其向左、向右最远的大于等于它身高的熊的位置。设为Li、Ri,则在区间[Li，Ri]内，熊i的身高是最低的，显然ans[Ri-Li+1]=max(ans[Ri-Li+1]，h[i])，显然的，在该区间内，长度为min(i-Li+1,Ri-i+1)~Ri-Li+1的区间长度的最小值就为h[i]，而对于该区间内区间长度小于min(i-Li+1,Ri-i+1)的最小值，自然可由那些位置的熊的Lj、Rj来确定。而我们此处设置最大范围为该最小值h[i]，那么之后我们可以用大区间的值来更新小区间的值。另做证明：如果len1>len2,但是ans[len1]>ans[len2]，说明大区间最小值的最大值比小区间的最小值的最大值还大，说明存在某一个长度为len1的大区间，其最小值为v1,那么显然在该大区间内部去一个长度为len2的小区间，则该小区间内最小值至少大于等于v1。故可用大区间的值来更新小区间的值。

 #include<iostream>
 #include<stack>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const int maxn = ;
 int v[maxn];
 int L_index[maxn];
 int R_index[maxn];
 int ans[maxn];
 int main()
 {
     int n;
     scanf("%d", &n);
     for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%d", v + i);
     stack<int>stkL,stkR;
     for (int i = ; i <= n; i++)
     {
         while (!stkL.empty() && v[i] <= v[stkL.top()]) stkL.pop();
         if (stkL.empty()) L_index[i] = ;
         else L_index[i] = stkL.top() + ;
         stkL.push(i);
     }
     for (int i = n; i>=; --i)
     {
         while (!stkR.empty() && v[i] <= v[stkR.top()]) stkR.pop();
         if (stkR.empty()) R_index[i] = n;
         else R_index[i] = stkR.top() - ;
         stkR.push(i);
     }
     for (int i = ; i <= n; i++)
     {
         int len = R_index[i] - L_index[i] + ;
         ans[len] = max(ans[len], v[i]);
     }
     for (int i = n-; i >= ; --i)
     {
         ans[i] = max(ans[i], ans[i + ]);
     }
     for (int i = ; i <= n; i++)
     {
         if (i > ) printf(" ");
         printf("%d", ans[i]);
     }
     printf("\n");

     return ;
 }

E. Mike and Foam

　　题意：有n杯啤酒，每杯啤酒的泡沫含量为ai。现在有一个空架子，q次询问，每次询问一杯啤酒的编号，如果其在架子上，则将其拿下，否则将其放上。并在每次询问后求架子上泡米含量互质的啤酒的对数。

　　思路：先求出含量ai其所有的质因子。然后求所有质因子的并集（容斥原理），得到与ai不互质的个数，然后架子上的啤酒个数减去ai就是与ai互质的对数。并且我们每次询问可以累积这个对数，这样每次无论是放上还是取下啤酒，都只需找到与进行操作的啤酒的互质的个数即可。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<vector>
 using namespace std;
 const int maxv = ;
 const int maxn = ;
 int v[maxn];
 bool isOnShelf[maxn];
 vector<int>p[maxv];//存放2~maxv各个数的质因子
 int n, q;
 int sets[maxv];//存放各个质因子及其乘积的个数
 int preCount;//之前架子上的及啤酒个数
 long long pre;//之前架子上互质的对数
 void Init()
 {
     for (int i = ; i < maxv; i++)
     {
         if (p[i].empty())
         {
             for (int j = i; j < maxv; j += i)
             {
                 p[j].push_back(i);
             }
         }
     }
 }

 void removeBeer(int x)
 {
     int len = p[x].size();
     int tot = ( << len) - ;
     int tans = ;
     //二进制枚举质因子个数，进行容斥，找到已有数的集合中与x不互质的个数（也就是含有至少一个相同质因子的个数，p1,p2,...,p_len的并集）
     for (int i = ; i <= tot; i++)
     {
         //得到当前状态下各质因子的乘积及其个数
         int cur = ,nums=;
         for (int j = ; j < len; j++)
         {
             if (( << j)&i)
             {
                 cur *= p[x][j], nums++;
             }
         }
         //在cur的集合中减去一个数(即x自身的若干质因子的乘积)，因为要把x从当前数的集合减去
         sets[cur]--;
         //奇加偶减
         if (nums % ) tans += sets[cur];
         else tans -= sets[cur];
     }
     preCount--;//减去x自身
     pre -= (preCount - tans);
 }
 void addBeer(int x)
 {
     int len = p[x].size();
     int tot = ( << len) - ;
     int tans = ;
     //二进制枚举质因子个数，进行容斥，找到已有数的集合中与x不互质的个数（也就是含有至少一个相同质因子的个数，p1,p2,...,p_len的并集）
     for (int i = ; i <= tot; i++)
     {
         //得到当前状态下各质因子的乘积及其个数
         int cur = , nums = ;
         for (int j = ; j < len; j++)
         {
             if (( << j)&i)
             {
                 cur *= p[x][j], nums++;
             }
         }
         //奇加偶减
         if (nums % ) tans += sets[cur];
         else tans -= sets[cur];
         //在cur的集合中加去一个数(即x自身的若干质因子的乘积)，因为要把x放入当前数的集合
         sets[cur]++;
     }
     pre += (preCount - tans);
     preCount++;//加上x自身
 }
 int main()
 {
     Init();
     scanf("%d%d", &n, &q);
     for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%d", v + i);
     while (q--)
     {
         int index;
         scanf("%d", &index);
         if (isOnShelf[index])
         {
             removeBeer(v[index]);
             printf("%I64d\n", pre);
             isOnShelf[index] = false;
         }
         else
         {
             addBeer(v[index]);
             printf("%I64d\n", pre);
             isOnShelf[index] = true;
         }
     }
     return ;
 }