图的基本算法(BFS和DFS)

图是一种灵活的数据结构，一般作为一种模型用来定义对象之间的关系或联系。对象由顶点（V）表示，而对象之间的关系或者关联则通过图的边（E）来表示。 图可以分为有向图和无向图，一般用G=(V,E)来表示图。经常用邻接矩阵或者邻接表来描述一副图。 在图的基本算法中，最初需要接触的就是图的遍历算法，根据访问节点的顺序，可分为广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）。

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广度优先搜索（BFS） 广度优先搜索在进一步遍历图中顶点之前，先访问当前顶点的所有邻接结点。 a .首先选择一个顶点作为起始结点，并将其染成灰色，其余结点为白色。 b. 将起始结点放入队列中。 c. 从队列首部选出一个顶点，并找出所有与之邻接的结点，将找到的邻接结点放入队列尾部，将已访问过结点涂成黑色，没访问过的结点是白色。如果顶点的颜色是灰色，表示已经发现并且放入了队列，如果顶点的颜色是白色，表示还没有发现 d. 按照同样的方法处理队列中的下一个结点。 基本就是出队的顶点变成黑色，在队列里的是灰色，还没入队的是白色。 用一副图来表达这个流程如下：

1.初始状态，从顶点1开始，队列={1}

2.访问1的邻接顶点，1出队变黑，2,3入队，队列={2,3,}

3.访问2的邻接结点，2出队，4入队，队列={3,4}

4.访问3的邻接结点，3出队，队列={4}

5.访问4的邻接结点，4出队，队列={ 空}

从顶点1开始进行广度优先搜索：

1. 初始状态，从顶点1开始，队列={1}
2. 访问1的邻接顶点，1出队变黑，2,3入队，队列={2,3,}
3. 访问2的邻接结点，2出队，4入队，队列={3,4}
4. 访问3的邻接结点，3出队，队列={4}
5. 访问4的邻接结点，4出队，队列={ 空} 结点5对于1来说不可达。 上面的图可以通过如下邻接矩阵表示：

    int maze[][] = {
        { , , , ,  },
        { , , , ,  },
        { , , , ,  },
        { , , , ,  },
        { , , , ,  }
    };

   BFS核心代码如下：

    #include <iostream>
    #include <queue>
    #define N 5
    using namespace std;
    int maze[N][N] = {
        { , , , ,  },
        { , , , ,  },
        { , , , ,  },
        { , , , ,  },
        { , , , ,  }
    };
    int visited[N + ] = { , };
    void BFS(int start)
    {
        queue<int> Q;
        Q.push(start);
        visited[start] = ;
        while (!Q.empty())
        {
            int front = Q.front();
            cout << front << " ";
            Q.pop();
            for (int i = ; i <= N; i++)
            {
                if (!visited[i] && maze[front - ][i - ] == )
                {
                    visited[i] = ;
                    Q.push(i);
                }
            }
        }
    }
    int main()
    {
        for (int i = ; i <= N; i++)
        {
            if (visited[i] == )
                continue;
            BFS(i);
        }
        return ;
    }

   深度优先搜索（DFS） 深度优先搜索在搜索过程中访问某个顶点后，需要递归地访问此顶点的所有未访问过的相邻顶点。 初始条件下所有节点为白色，选择一个作为起始顶点，按照如下步骤遍历： a. 选择起始顶点涂成灰色，表示还未访问 b. 从该顶点的邻接顶点中选择一个，继续这个过程（即再寻找邻接结点的邻接结点），一直深入下去，直到一个顶点没有邻接结点了，涂黑它，表示访问过了 c. 回溯到这个涂黑顶点的上一层顶点，再找这个上一层顶点的其余邻接结点，继续如上操作，如果所有邻接结点往下都访问过了，就把自己涂黑，再回溯到更上一层。 d. 上一层继续做如上操作，知道所有顶点都访问过。 用图可以更清楚的表达这个过程：

   

   1.初始状态，从顶点1开始
   

   2.依次访问过顶点1,2,3后，终止于顶点3
   

   3.从顶点3回溯到顶点2，继续访问顶点5，并且终止于顶点5
   

   4.从顶点5回溯到顶点2，并且终止于顶点2
   

   5.从顶点2回溯到顶点1，并终止于顶点1
   

   6.从顶点4开始访问，并终止于顶点4

   从顶点1开始做深度搜索：

   1. 初始状态，从顶点1开始
   2. 依次访问过顶点1,2,3后，终止于顶点3
   3. 从顶点3回溯到顶点2，继续访问顶点5，并且终止于顶点5
   4. 从顶点5回溯到顶点2，并且终止于顶点2
   5. 从顶点2回溯到顶点1，并终止于顶点1

   6. 从顶点4开始访问，并终止于顶点4

      上面的图可以通过如下邻接矩阵表示：

       int maze[][] = {
           { , , , ,  },
           { , , , ,  },
           { , , , ,  },
           { , , , ,  },
           { , , , ,  }
       };

      DFS核心代码如下（递归实现）：

       #include <iostream>
       #define N 5
       using namespace std;
       int maze[N][N] = {
           { , , , ,  },
           { , , , ,  },
           { , , , ,  },
           { , , , ,  },
           { , , , ,  }
       };
       int visited[N + ] = { , };
       void DFS(int start)
       {
           visited[start] = ;
           for (int i = ; i <= N; i++)
           {
               if (!visited[i] && maze[start - ][i - ] == )
                   DFS(i);
           }
           cout << start << " ";
       }
       int main()
       {
           for (int i = ; i <= N; i++)
           {
               if (visited[i] == )
                   continue;
               DFS(i);
           }
           return ;
       }

      非递归实现如下，借助一个栈：

       #include <iostream>
       #include <stack>
       #define N 5
       using namespace std;
       int maze[N][N] = {
           { , , , ,  },
           { , , , ,  },
           { , , , ,  },
           { , , , ,  },
           { , , , ,  }
       };
       int visited[N + ] = { , };
       void DFS(int start)
       {
           stack<int> s;
           s.push(start);
           visited[start] = ;
           bool is_push = false;
           while (!s.empty())
           {
               is_push = false;
               int v = s.top();
               for (int i = ; i <= N; i++)
               {
                   if (maze[v - ][i - ] ==  && !visited[i])
                   {
                       visited[i] = ;
                       s.push(i);
                       is_push = true;
                       break;
                   }
               }
               if (!is_push)
               {
                   cout << v << " ";
                   s.pop();
               }
      
           }
       }
       int main()
       {
           for (int i = ; i <= N; i++)
           {
               if (visited[i] == )
                   continue;
               DFS(i);
           }
           return ;
       }

      有的DFS是先访问读取到的结点，等回溯时就不再输出该结点，也是可以的。算法和我上面的区别就是输出点的时机不同，思想还是一样的。DFS在环监测和拓扑排序中都有不错的应用。

感谢卡巴拉的树提供的文章，本文来自于http://www.jianshu.com/p/70952b51f0c8